Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = 2 a * sen(theta).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva que está descrita em coordenadas polares pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares. Vamos precisar calcular derivadas e fazer uma integral para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que descreve a curva, é o ângulo, e e são os limites de integração, que determinam de onde a gente vai começar e terminar a medir o comprimento.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração e . Observando a equação , sabemos que o seno de é positivo quando está entre e . Então, os limites vão de até .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Essa derivada vai ser usada na fórmula do comprimento da curva.

Passo 5

Substituindo e na fórmula do comprimento, temos:

Passo 6

Vamos simplificar dentro da raiz:
Fatorando o :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, é só integrar:

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = e^(theta) ; 0 <= theta <= pi / 3.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
y' + 3y = x + e^(-2x)
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
cal x' + tg(t) x = tg(t)
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = 3 theta^2 ; 0 <= theta <= 2 pi / 3.