Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar: .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva que está descrita em coordenadas polares pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares. Vamos precisar calcular derivadas e fazer uma integral para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que descreve a curva, é o ângulo, e e são os limites de integração, que determinam de onde a gente vai começar e terminar a medir o comprimento.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração e . Observando a equação , sabemos que o seno de é positivo quando está entre e . Então, os limites vão de até .
Passo 4
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Essa derivada vai ser usada na fórmula do comprimento da curva.