Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Precisamos calcular a integral . Para isso, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Então, derivando e integrando:
Aplicando a fórmula da integração por partes :
Portanto:

Passo 5

Agora, voltamos ao fator integrante:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

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