Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Precisamos calcular a integral
. Para isso, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Então, derivando e integrando:
Aplicando a fórmula da integração por partes
:
Portanto:
Passo 5
Agora, voltamos ao fator integrante:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais:
Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva
e
, situada no primeiro quadrante.