Resolva as equações diferenciais: d y / d x = x / e^y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma . O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais e, mais especificamente, equações diferenciais separáveis. Para resolver esse tipo de equação, precisamos separar as variáveis e de modo que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a separação das variáveis:
Podemos multiplicar ambos os lados por para isolar de um lado:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Dessa forma, todas as expressões envolvendo estão de um lado e as que envolvem estão do outro.

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação para encontrar as funções que satisfazem a igualdade:
A integração de em relação a é , e a integração de em relação a é . Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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