Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma
. O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais e, mais especificamente, equações diferenciais separáveis. Para resolver esse tipo de equação, precisamos separar as variáveis
e
de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a separação das variáveis:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para isolar
de um lado:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Dessa forma, todas as expressões envolvendo
estão de um lado e as que envolvem
estão do outro.
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados da equação para encontrar as funções que satisfazem a igualdade:
A integração de
em relação a
é
, e a integração de
em relação a
é
. Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.