Encontre a solução do PVI dado.
(i)
y' - y = 2t e^(2t) y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Equações Diferenciais! A gente tem uma equação do tipo com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão: . No nosso caso, a equação original é , então podemos reescrever como:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator ajuda a transformar a equação original em uma forma que facilita a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando o lado direito:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Para resolver a integral no lado direito, usamos integração por partes, onde:
Aplicando:
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do PVI é:

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