Encontre a solução do PVI dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Equações Diferenciais! A gente tem uma equação do tipo
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão:
. No nosso caso, a equação original é
, então podemos reescrever como:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator ajuda a transformar a equação original em uma forma que facilita a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando o lado direito:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Para resolver a integral no lado direito, usamos integração por partes, onde:
Aplicando:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do PVI é: