Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias, onde a gente precisa encontrar uma função que satisfaça a relação dada. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a equação . Nota que tanto o numerador quanto o denominador têm termos envolvendo e de maneira semelhante. Isso sugere que podemos usar uma substituição para tornar a equação mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Com isso, a função é expressa como . Agora, precisamos encontrar em termos de e .
Passo 4
Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Agora, substituímos e na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação diferencial:
Agora, simplificamos a equação:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Agora, simplificamos a fração do lado esquerdo:
Passo 7
Agora, a equação está pronta para ser integrada:
Vamos simplificar a integral do lado esquerdo. Podemos dividir o numerador: