Resolva:
h) y' = 2xy / (y^2 - x^2),

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias, onde a gente precisa encontrar uma função que satisfaça a relação dada. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a equação . Nota que tanto o numerador quanto o denominador têm termos envolvendo e de maneira semelhante. Isso sugere que podemos usar uma substituição para tornar a equação mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Com isso, a função é expressa como . Agora, precisamos encontrar em termos de e .

Passo 4

Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Agora, substituímos e na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação diferencial:
Agora, simplificamos a equação:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Agora, simplificamos a fração do lado esquerdo:

Passo 7

Agora, a equação está pronta para ser integrada:
Vamos simplificar a integral do lado esquerdo. Podemos dividir o numerador:

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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