(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Mostrar que é um subgrupo de .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é um subgrupo de , que é o grupo dos números reais não nulos com a operação de multiplicação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e verificar se satisfaz as condições necessárias para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subgrupo. Um subgrupo é um conjunto que está dentro de um grupo maior e que, por si só, também forma um grupo com a mesma operação. Para que seja um subgrupo de , ele precisa atender a três condições básicas:
Conter o elemento neutro: No caso da multiplicação, o elemento neutro é 1.
Ser fechado sob a operação do grupo: ou seja, se você multiplicar dois elementos de , o resultado também deve estar em .
Conter os inversos de seus elementos: para cada elemento em , seu inverso (dividido por 1 nesse caso) também deve estar em .
Passo 3
Primeira condição: contém o elemento neutro. O elemento neutro em é o número 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo. Vamos ver se 1 está em :
Se escolhermos , temos . Logo, 1 está em . Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Segunda condição: é fechado sob a multiplicação. Isso significa que se pegarmos dois elementos quaisquer de , digamos e , a multiplicação deles deve também estar em .
Vamos multiplicar:
Como é um inteiro (já que e são inteiros), está em . Portanto, é fechado sob multiplicação.
Passo 5
Terceira condição: contém os inversos de seus elementos. Para cada elemento em , seu inverso multiplicativo é . Precisamos verificar se também está em .
Como é um inteiro (porque é inteiro), temos que pertence a . Assim, todos os inversos estão em .
Resposta
Como contém o elemento neutro, é fechado sob multiplicação e inclui os inversos de seus elementos, concluímos que é, de fato, um subgrupo de .