(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Mostrar que H=2^n: n in Z é um subgrupo de R^*.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é um subgrupo de , que é o grupo dos números reais não nulos com a operação de multiplicação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e verificar se satisfaz as condições necessárias para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subgrupo. Um subgrupo é um conjunto que está dentro de um grupo maior e que, por si só, também forma um grupo com a mesma operação. Para que seja um subgrupo de , ele precisa atender a três condições básicas:
  1. Conter o elemento neutro: No caso da multiplicação, o elemento neutro é 1.
  2. Ser fechado sob a operação do grupo: ou seja, se você multiplicar dois elementos de , o resultado também deve estar em .
  3. Conter os inversos de seus elementos: para cada elemento em , seu inverso (dividido por 1 nesse caso) também deve estar em .

Passo 3

Primeira condição: contém o elemento neutro. O elemento neutro em é o número 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo. Vamos ver se 1 está em :
Se escolhermos , temos . Logo, 1 está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Segunda condição: 2^m times 2^n = 2^m+n é fechado sob a multiplicação. Isso significa que se pegarmos dois elementos quaisquer de , digamos e , a multiplicação deles deve também estar em .
Vamos multiplicar:
Como é um inteiro (já que e são inteiros), está em . Portanto, é fechado sob multiplicação.

Passo 5

Terceira condição: contém os inversos de seus elementos. Para cada elemento em , seu inverso multiplicativo é . Precisamos verificar se também está em .
Como é um inteiro (porque é inteiro), temos que pertence a . Assim, todos os inversos estão em .

Resposta

Como contém o elemento neutro, é fechado sob multiplicação e inclui os inversos de seus elementos, concluímos que é, de fato, um subgrupo de .

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