(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Mostrar que
é um subgrupo de
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto
é um subgrupo de
, que é o grupo dos números reais não nulos com a operação de multiplicação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e verificar se
satisfaz as condições necessárias para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subgrupo. Um subgrupo é um conjunto que está dentro de um grupo maior e que, por si só, também forma um grupo com a mesma operação. Para que
seja um subgrupo de
, ele precisa atender a três condições básicas:
- Conter o elemento neutro: No caso da multiplicação, o elemento neutro é 1.
- Ser fechado sob a operação do grupo: ou seja, se você multiplicar dois elementos de
, o resultado também deve estar em . - Conter os inversos de seus elementos: para cada elemento em
, seu inverso (dividido por 1 nesse caso) também deve estar em .
Passo 3
Primeira condição:
contém o elemento neutro. O elemento neutro em
é o número 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo. Vamos ver se 1 está em
:
Se escolhermos
, temos
. Logo, 1 está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Segunda condição:
é fechado sob a multiplicação. Isso significa que se pegarmos dois elementos quaisquer de
, digamos
e
, a multiplicação deles deve também estar em
.
Vamos multiplicar:
Como
é um inteiro (já que
e
são inteiros),
está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação.
Passo 5
Terceira condição:
contém os inversos de seus elementos. Para cada elemento
em
, seu inverso multiplicativo é
. Precisamos verificar se
também está em
.
Como
é um inteiro (porque
é inteiro), temos que
pertence a
. Assim, todos os inversos estão em
.
Resposta
Como
contém o elemento neutro, é fechado sob multiplicação e inclui os inversos de seus elementos, concluímos que
é, de fato, um subgrupo de
.