(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de ?
e)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta se o subconjunto é um subgrupo cíclico de . Estamos trabalhando com Teoria de Grupos, especificamente com grupos cíclicos e subgrupos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse subconjunto satisfaz as propriedades de um subgrupo cíclico dentro de .
Passo 2
Primeiro, lembramos que é o grupo dos restos da divisão por 12, com a operação sendo a adição módulo 12. Um subgrupo cíclico é um grupo que pode ser gerado por um único elemento. Ou seja, existe um elemento no subgrupo tal que, ao somá-lo repetidamente (não limite de vezes), gera todos os elementos do subgrupo.
Passo 3
Vamos verificar se existe um elemento em que pode gerar todo o subconjunto através de somas repetidas. Vamos testar com :
4 + 4 + 4 + 4 = 16 = 4
Como vimos, ao somar 4 três vezes, voltamos a 0, e o padrão se repete. Os elementos gerados são 0, 4, 8, que é exatamente o nosso subconjunto.
Passo 4
Além disso, precisamos confirmar se esse subconjunto é realmente um subgrupo. Para isso, verificamos três propriedades:
Elemento neutro: 0 está no subconjunto.
Fechamento: A soma de quaisquer dois elementos do subconjunto ainda pertence ao subconjunto. Por exemplo, 4 + 8 = 12 = 0.
Elemento inverso: Cada elemento tem seu inverso no subconjunto. Por exemplo, o inverso de 4 é 8, já que 4 + 8 = 0.
Todas essas propriedades são satisfeitas.
Resposta
Sim, o subconjunto 0, 4, 8 é um subgrupo cíclico de Z12 gerado pelo elemento 4.