Encontre as condições que devem satisfazer os valores para k in R para os quais o sistema
l x+k y=1 k x+y=1
i) apresente uma única solução, ii) não apresente soluções e iii) apresente infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de o sistema de equações abaixo tem:
  1. Uma única solução.
  2. Nenhuma solução.
  3. Infinitas soluções.
Estamos lidando com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas ( e ). Para resolver isso, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes para analisar as possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + k y = 1 k x + y = 1
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = 1 & k k & 1

Passo 3

O determinante dessa matriz det(A) = (1)(1) - (k)(k) = 1 - k^2 é dado por:
O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução, nenhuma ou infinitas.

Passo 4

Agora, analisamos o determinante:
  1. Se , ou seja, , o sistema tem uma única solução.
  2. Se , ou seja, , precisamos verificar se as equações são paralelas (nenhuma solução) ou coincidentes (infinitas soluções).

Passo 5

Resolvendo 1 - k^2 = 0 k^2 = 1 k = pm 1 :
Então, para ou , o determinante é zero.

Passo 6

Vamos verificar o caso x + y = 1 x + y = 1 :
x - y = 1 - x + y = 1
As duas equações são iguais, ou seja, são coincidentes, o que significa que há infinitas soluções.
Agora, para (x - y) + (-x + y) = 1 + 1 0 = 2 :
Somando as duas equações:
Isso é impossível, então não há solução.

Resposta

i) O sistema apresenta uma única solução para todo exceto .
ii) O sistema não apresenta soluções quando .
iii) O sistema apresenta infinitas soluções quando .

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