Sabendo-se que u=(1,0,2), v=(-2,-3,1) e w=(3,5,-3), calcule: (u times v) times w;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores: u = (1, 0, 2), v = (-2, -3, 1) e w = (3, 5, -3). A gente precisa calcular o produto vetorial duplo (u times v) times w. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular um produto vetorial entre dois vetores e depois aplicar isso novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Vamos aplicar isso com nossos vetores u e v.

Passo 3

Calculando cada componente de u times v:
x &= u2v3 - u3v2 = 0 cdot 1 - 2 cdot (-3) = 0 + 6 = 6 y &= u3v1 - u1v3 = 2 cdot (-2) - 1 cdot 1 = -4 - 1 = -5 z &= u1v2 - u2v1 = 1 cdot (-3) - 0 cdot (-2) = -3 - 0 = -3
Então, u times v = (6, -5, -3).

Passo 4

Agora, temos que calcular o produto vetorial desse resultado com o vetor w. Ou seja, precisamos calcular (u times v) times w = (6, -5, -3) times (3, 5, -3). Vamos aplicar a mesma fórmula do produto vetorial.

Passo 5

Calculando cada componente de (6, -5, -3) times (3, 5, -3):
x &= (-5) cdot (-3) - (-3) cdot 5 = 15 - (-15) = 15 + 15 = 30 y &= (-3) cdot 3 - 6 cdot (-3) = -9 - (-18) = -9 + 18 = 9 z &= 6 cdot 5 - (-5) cdot 3 = 30 - (-15) = 30 + 15 = 45
Então, (u times v) times w = (30, 9, 45).

Resposta

O produto vetorial duplo é (30, 9, 45).

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