Use a série de Taylor centrada em x=0 para descrever as funções: f(x)=x^6 e^2 x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a série de Taylor centrada em para descrever a função . A matéria envolvida aqui é a expansão em série de Taylor, que nos permite representar funções como somas infinitas de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função exponencial e depois adaptar para nossa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor para a função exponencial e^u = sumn=0^infty u^nn! centrada em . A série é dada por:
Isso significa que podemos expressar como uma soma infinita de elevado a diferentes potências, divididas por fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do expoente é e^2x^3 = sumn=0^infty (2x^3)^nn! = sumn=0^infty 2^n x^3nn! . Então, vamos substituir por na série de Taylor que acabamos de lembrar:
Agora, temos a série de Taylor para .

Passo 4

Nossa função original é f(x) = x^6 cdot e^2x^3 = x^6 cdot sumn=0^infty 2^n x^3nn! = sumn=0^infty 2^n x^6 + 3nn! . Agora que temos a série para , vamos multiplicá-la por :
Isso nos dá a série de Taylor para .

Resposta

A série de Taylor centrada em f(x) = sumn=0^infty 2^n x^6 + 3nn! para a função é:

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