Use a série de Taylor centrada em
para descrever as funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a série de Taylor centrada em
para descrever a função
. A matéria envolvida aqui é a expansão em série de Taylor, que nos permite representar funções como somas infinitas de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função exponencial
e depois adaptar para nossa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor para a função exponencial
centrada em
. A série é dada por:
Isso significa que podemos expressar
como uma soma infinita de
elevado a diferentes potências, divididas por fatorial de
.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro do expoente é
. Então, vamos substituir
por
na série de Taylor que acabamos de lembrar:
Agora, temos a série de Taylor para
.
Passo 4
Nossa função original é
. Agora que temos a série para
, vamos multiplicá-la por
:
Isso nos dá a série de Taylor para
.
Resposta
A série de Taylor centrada em
para a função
é: