Encontre sabendo que sua matriz em relação à base canônica é:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformação linear 2 & 1 & 1 4 & 1 & -2 0 & 3 & 1 sabendo que sua matriz na base canônica é
Vamos precisar entender como as matrizes representam transformações lineares e como usamos essa matriz para definir .
Passo 2
Primeiro, lembra que uma transformação linear x y z de T( x y z ) = A x y z para A = 2 & 1 & 1 4 & 1 & -2 0 & 3 & 1 pode ser representada por uma matriz 3x3. Essa matriz transforma qualquer vetor em um novo vetor através da multiplicação matricial:
No nosso caso, a matriz é:
Passo 3
Vamos fazer a multiplicação da matriz x y z pelo vetor A x y z = 2x + 1y + 1z 4x + 1y + (-2)z 0x + 3y + 1z . Lembre-se que cada elemento do resultado é a soma dos produtos correspondentes das linhas da matriz com as colunas do vetor:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essas expressões para deixar a transformação mais clara:
T( x y z ) = 2x + y + z 4x + y - 2z 3y + z
Isso significa que para qualquer vetor de entrada , a transformação produz um novo vetor onde:
A primeira coordenada é
A segunda coordenada é
A terceira coordenada é
Resposta
A transformação linear T(x, y, z) = 2x + y + z 4x + y - 2z 3y + z é dada por: