Encontre condições sobre os conjuntos
e
de modo que a função
dada por
esteja bem-definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos condições sobre os conjuntos
e
para que a função
definida por
esteja bem-definida. Isso está ligado ao conteúdo de funções bem-definidas. Para resolver, vamos precisar entender o que faz uma função ser bem-definida e analisar como isso se aplica aos conjuntos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser bem-definida. Uma função é bem-definida se, para cada elemento do domínio, existe um único valor no contradomínio que corresponde a ele. Ou seja, cada entrada tem uma e somente uma saída.
Passo 3
No nosso caso, o domínio da função
é
, que inclui todos os elementos que estão em
ou em
(ou em ambos). A função está dizendo que se um elemento está em
, ele recebe o valor 0, e se está em
, recebe 1.
Passo 4
O problema pode surgir se houver elementos que estão tanto em
quanto em
. Se um elemento
estiver em
e em
ao mesmo tempo, a função
tentaria atribuir dois valores diferentes a
: 0 e 1. Isso quebraria a regra de que cada entrada deve ter apenas uma saída.
Passo 5
Para evitar esse conflito, precisamos garantir que não existam elementos que pertençam simultaneamente a
e a
. Ou seja, os conjuntos
e
devem ser disjuntos. Matemáticamente, isso significa que a interseção entre
e
deve ser vazia:
Resposta
Os conjuntos
e
devem ser disjuntos, ou seja,
, para que a função
esteja bem-definida.
Exercícios relacionados
Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções
e
, prove que
Seja
um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função
que é dada por essa fórmula lógica.