Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções f: X -> Y, g: Y -> Z e h: Z -> W, prove que
h o (g o f) = (h o g) o f : X -> W

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que a composição de funções é associativa. Ou seja, se tivermos três funções:
  • f: X -> Y
  • h: Z -> W
A gente precisa mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e o que significa ser associativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Se a gente tem duas funções, digamos f e g, a composição g(f) significa que a gente primeiro aplica f e depois aplica g no resultado de f. Matematicamente, para qualquer x em X:

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a composição ser associativa. Isso quer dizer que a maneira como a gente agrupa as funções na composição não muda o resultado final. Ou seja, se a gente tem três funções, a gente pode primeiro compor g com f e depois h com o resultado, ou primeiro compor h com g e depois com f, e o resultado vai ser o mesmo.

Passo 4

Vamos provar isso! Vamos pegar um elemento qualquer x em X e ver o que acontece quando aplicamos as duas formas de composição.
Primeiro, vamos aplicar :

Passo 5

Agora, vamos aplicar :

Passo 6

Observamos que, para qualquer x em X:
Os dois lados são iguais!

Resposta

Portanto, provamos que:
A composição de funções é realmente associativa!

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