Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções
e
, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que a composição de funções é associativa. Ou seja, se tivermos três funções:
A gente precisa mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e o que significa ser associativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Se a gente tem duas funções, digamos
e
, a composição
significa que a gente primeiro aplica
e depois aplica
no resultado de
. Matematicamente, para qualquer
:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a composição ser associativa. Isso quer dizer que a maneira como a gente agrupa as funções na composição não muda o resultado final. Ou seja, se a gente tem três funções, a gente pode primeiro compor
com
e depois
com o resultado, ou primeiro compor
com
e depois com
, e o resultado vai ser o mesmo.
Passo 4
Vamos provar isso! Vamos pegar um elemento qualquer
e ver o que acontece quando aplicamos as duas formas de composição.
Primeiro, vamos aplicar
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar
:
Passo 6
Observamos que, para qualquer
:
Os dois lados são iguais!
Resposta
Portanto, provamos que:
A composição de funções é realmente associativa!
Exercícios relacionados
Encontre condições sobre os conjuntos
e
de modo que a função
dada por
esteja bem-definida.
Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Seja
um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função
que é dada por essa fórmula lógica.
Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.)