Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções e , prove que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que a composição de funções é associativa. Ou seja, se tivermos três funções:
A gente precisa mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e o que significa ser associativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Se a gente tem duas funções, digamos e , a composição significa que a gente primeiro aplica e depois aplica no resultado de . Matematicamente, para qualquer :

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a composição ser associativa. Isso quer dizer que a maneira como a gente agrupa as funções na composição não muda o resultado final. Ou seja, se a gente tem três funções, a gente pode primeiro compor com e depois com o resultado, ou primeiro compor com e depois com , e o resultado vai ser o mesmo.

Passo 4

Vamos provar isso! Vamos pegar um elemento qualquer e ver o que acontece quando aplicamos as duas formas de composição.
Primeiro, vamos aplicar :

Passo 5

Agora, vamos aplicar :

Passo 6

Observamos que, para qualquer :
Os dois lados são iguais!

Resposta

Portanto, provamos que:
A composição de funções é realmente associativa!

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Encontre condições sobre os conjuntos e de modo que a função dada por
esteja bem-definida.
Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .
Seja um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função que é dada por essa fórmula lógica.
Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.)