Seja X um conjunto. Prove que
forall a in X, existe! U em P(X), [a em U e (existe! x em X, x em U)]
Dê uma descrição explícita da função X → P(X) que é dada por essa fórmula lógica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre conjuntos e funções, mais especificamente sobre como associar cada elemento de um conjunto X a um subconjunto único dentro do conjunto das partes de X, que é P(X). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é função, conjunto das partes e como provar a existência e unicidade dessa associação única para cada elemento de X.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a fórmula dada:
Isso quer dizer que, para cada elemento a em X, existe um único subconjunto U em P(X) que contém o elemento a e que só esse elemento está em U. Em outras palavras, U deve ser um conjunto que tem exatamente um elemento, que é o próprio a.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que esse subconjunto U realmente existe e é único. Vamos definir U como sendo o conjunto que contém apenas o elemento a, ou seja:
Esse conjunto U claramente contém a e nenhum outro elemento, satisfazendo assim a condição e (onde o único x é a).

Passo 4

Em seguida, precisamos garantir que não exista outro subconjunto diferente de P(X) que também satisfaça essas condições para a. Suponha que exista outro conjunto V tal que e que V contém apenas um elemento. Então, obrigatoriamente esse único elemento em V também tem que ser a, ou seja, . Portanto, U é único.

Passo 5

Com isso, podemos definir uma função que associa cada elemento a de X ao subconjunto único em P(X). Essa função é bem definida porque para cada a, existe exatamente um que satisfaz as condições do enunciado.

Resposta

A função f: X -> P(X) é definida por para todo a in X.

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