Seja
um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função
que é dada por essa fórmula lógica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre conjuntos e funções, mais especificamente sobre como associar cada elemento de um conjunto
a um subconjunto único dentro do conjunto das partes de
, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é função, conjunto das partes e como provar a existência e unicidade dessa associação única para cada elemento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a fórmula dada:
Isso quer dizer que, para cada elemento
em
, existe um único subconjunto
em
que contém o elemento
e que só esse elemento está em
. Em outras palavras,
deve ser um conjunto que tem exatamente um elemento, que é o próprio
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que esse subconjunto
realmente existe e é único. Vamos definir
como sendo o conjunto que contém apenas o elemento
, ou seja:
Esse conjunto
claramente contém
e nenhum outro elemento, satisfazendo assim a condição
e
(onde o único
é
).
Passo 4
Em seguida, precisamos garantir que não exista outro subconjunto diferente de
que também satisfaça essas condições para
. Suponha que exista outro conjunto
tal que
e que
contém apenas um elemento. Então, obrigatoriamente esse único elemento em
também tem que ser
, ou seja,
. Portanto,
é único.
Passo 5
Com isso, podemos definir uma função que associa cada elemento
de
ao subconjunto único
em
. Essa função é bem definida porque para cada
, existe exatamente um
que satisfaz as condições do enunciado.
Resposta
A função
é definida por
para todo
.
Exercícios relacionados
Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções
e
, prove que
Encontre condições sobre os conjuntos
e
de modo que a função
dada por
esteja bem-definida.
Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.)
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.