Seja um conjunto. Prove que
Dê uma descrição explícita da função que é dada por essa fórmula lógica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre conjuntos e funções, mais especificamente sobre como associar cada elemento de um conjunto a um subconjunto único dentro do conjunto das partes de , que é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é função, conjunto das partes e como provar a existência e unicidade dessa associação única para cada elemento de .

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a fórmula dada:
Isso quer dizer que, para cada elemento em , existe um único subconjunto em que contém o elemento e que só esse elemento está em . Em outras palavras, deve ser um conjunto que tem exatamente um elemento, que é o próprio .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que esse subconjunto realmente existe e é único. Vamos definir como sendo o conjunto que contém apenas o elemento , ou seja:
Esse conjunto claramente contém e nenhum outro elemento, satisfazendo assim a condição e (onde o único é ).

Passo 4

Em seguida, precisamos garantir que não exista outro subconjunto diferente de que também satisfaça essas condições para . Suponha que exista outro conjunto tal que e que contém apenas um elemento. Então, obrigatoriamente esse único elemento em também tem que ser , ou seja, . Portanto, é único.

Passo 5

Com isso, podemos definir uma função que associa cada elemento de ao subconjunto único em . Essa função é bem definida porque para cada , existe exatamente um que satisfaz as condições do enunciado.

Resposta

A função é definida por para todo .

Exercícios relacionados

Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções e , prove que
Encontre condições sobre os conjuntos e de modo que a função dada por
esteja bem-definida.
Encontre a solução geral. se uma condição inicial for dada, encontre também a solução particular correspondente e represente-a graficamente ou esboce-a. (mostre os detalhes do seu trabalho.)
Seja uma função e sejam . Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa: .