Seja A e B vetores pertencentes ao espaço vetorial V^n, que possui base canônica i, j, k. Faça a demostração das propriedades: A cdot B=12(|C|^2-|A|^2-|B|^2), onde, C=A+B

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar uma propriedade envolvendo o produto escalar (ou ponto) entre dois vetores A e B no espaço vetorial V^n com base canônica i, j, k. A propriedade que queremos mostrar é:
A cdot B = 12(|C|^2 - |A|^2 - |B|^2)
onde C = A + B. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores A e B é definido como:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
onde theta é o ângulo entre os vetores. Também, a norma de um vetor A é:
|A| = raizA cdot A

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor C = A + B. Usando a definição de norma:
|C|^2 = C cdot C = (A + B) cdot (A + B)

Passo 4

Vamos expandir o produto escalar:
(A + B) cdot (A + B) = A cdot A + 2A cdot B + B cdot B
Então:
|C|^2 = |A|^2 + 2A cdot B + |B|^2

Passo 5

Agora, queremos isolar A cdot B. Para isso, vamos rearranjar a equação:
2A cdot B = |C|^2 - |A|^2 - |B|^2

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2, temos:
A cdot B = 12(|C|^2 - |A|^2 - |B|^2)

Resposta

Prontinho! Demonstramos que:
A cdot B = 12(|C|^2 - |A|^2 - |B|^2)

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