Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades: , onde,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar uma propriedade envolvendo o produto escalar (ou ponto) entre dois vetores e no espaço vetorial com base canônica . A propriedade que queremos mostrar é:
onde . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e é definido como:
onde é o ângulo entre os vetores. Também, a norma de um vetor é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor . Usando a definição de norma:

Passo 4

Vamos expandir o produto escalar:
Então:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, vamos rearranjar a equação:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2, temos:

Resposta

Prontinho! Demonstramos que:

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Obtenha a interseção da reta com o plano :
(b)
Encontre condições sobre o vetor para que exista uma reta na direção de que intersecte simultaneamente as retas e .
Estude as posições relativas do planos: e .
Obtenha uma equação vetorial da reta a partir de suas equações planares.
(a)