Seja
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial
, que possui base canônica
. Faça a demostração das propriedades:
, onde,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar uma propriedade envolvendo o produto escalar (ou ponto) entre dois vetores
e
no espaço vetorial
com base canônica
. A propriedade que queremos mostrar é:
onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar e a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é definido como:
onde
é o ângulo entre os vetores. Também, a norma de um vetor
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma do vetor
. Usando a definição de norma:
Passo 4
Vamos expandir o produto escalar:
Então:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, vamos rearranjar a equação:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Resposta
Prontinho! Demonstramos que: