Obtenha a interseção da reta r com o plano pi :
(b) r: X=(0,1,1)+lambda(2,1,-3) pi: X=(1,0,0)+de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar onde a reta r cruza o plano pi. Isso faz parte da matéria de geometria analítica, especificamente em vetores e parametrizações de linhas e planos. Para resolver, vamos precisar igualar as equações paramétricas da reta e do plano, e resolver para os parâmetros envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta r e do plano pi:
  • Reta r: X = (0,1,1) + lambda(2,1,-3)
    Isso significa que qualquer ponto na reta r pode ser escrito como:
    x = 0 + 2lambda y = 1 + lambda z = 1 - 3lambda
  • Plano pi: X = (1,0,0) + de
    Aqui, qualquer ponto no plano pi pode ser representado como:
    x = 1 + de

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos que as coordenadas (x, y, z) da reta r também satisfaçam as equações do plano pi. Então, igualamos as coordenadas correspondentes:
2lambda = 1 + de

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Observando as duas últimas equações:
1 + lambda = mu e 1 - 3lambda = mu
Podemos igualar as duas expressões para mu:
1 + lambda = 1 - 3lambda
Resolvendo para lambda:
1 + lambda = 1 - 3lambda 4lambda = 0 lambda = 0

Passo 5

Com lambda = 0, substituímos de volta para encontrar mu:
mu = 1 + 0 = 1
E também encontramos de usando a primeira equação:
2(0) = 1 + de

Resposta

O ponto de interseção da reta r com o plano pi é (0, 1, 1).

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