Encontre o conjunto fundamental de soluções para as equações:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial de segunda ordem:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar montar a equação característica e encontrar suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação da forma
, a equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Veja que o discriminante (
) deu negativo (
). Isso significa que as raízes são complexas. Podemos escrever:
Então, temos duas raízes complexas:
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Então, a solução fica:
Resposta
Portanto, o conjunto fundamental de soluções para a equação dada é: