Encontre o conjunto fundamental de soluções para as equações: y'' - 10 y' + 34 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial de segunda ordem:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar montar a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação da forma , a equação característica é:
No nosso caso, , e . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Veja que o discriminante ( ) deu negativo ( ). Isso significa que as raízes são complexas. Podemos escrever:
Então, temos duas raízes complexas: e .

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e . Então, a solução fica:

Resposta

Portanto, o conjunto fundamental de soluções para a equação dada é:

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