Encontre o conjunto fundamental de soluções para as equações:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como achar soluções de equações homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero:
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 3
Agora, a gente procura soluções da forma
. Substituindo na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero):
Então, a gente tem a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar:
Assim, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes
e
, as soluções fundamentais são:
Resposta
O conjunto fundamental de soluções para a equação
é: