Encontre o conjunto fundamental de soluções para as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
e
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando as duas possibilidades:
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
O conjunto fundamental de soluções para a equação dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.