Sejam
e
soluções da equação
Deduza a fórmula de Abel:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a fórmula de Abel para o Wronskiano de duas soluções
e
da equação diferencial dada:
Vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções de uma equação diferencial de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. É uma função que ajuda a determinar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. O Wronskiano
de
e
é dado por:
Isso basicamente mede o “espaço” entre as soluções.
Passo 3
Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a
. Calculando a derivada de
:
Simplificamos os termos e ficamos com essa expressão.
Passo 4
Sabemos que
e
satisfazem a equação diferencial dada. Substituindo
da equação na expressão do
:
Aplicando isso para
e
na expressão do
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial simples para
:
Para resolver isso, a gente separa as variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Elevando ambos os lados para a base
para eliminar o logaritmo:
onde
é uma nova constante.
Resposta
A fórmula de Abel para o Wronskiano
é:
onde
é uma constante.