Sejam y1 e y2 soluções da equação
a2(x) y^prime prime+a1(x) y^prime+a2(x) y=0
Deduza a fórmula de Abel:
W=c e^-integral a2(x)a1(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a fórmula de Abel para o Wronskiano de duas soluções a2(x) y'' + a1(x) y' + a2(x) y = 0 e da equação diferencial dada:
Vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções de uma equação diferencial de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. É uma função que ajuda a determinar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. O Wronskiano W = y1 y'2 - y'1 y2 de e é dado por:
Isso basicamente mede o “espaço” entre as soluções.

Passo 3

Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a W' = y1 y''2 + y'1 y'2 - y''1 y2 - y'1 y'2 = y1 y''2 - y''1 y2 . Calculando a derivada de :
Simplificamos os termos e ficamos com essa expressão.

Passo 4

Sabemos que y'' = -a1(x)a2(x) y' - a2(x)a2(x) y = -a1(x)a2(x) y' - y e W' = y1 ( -a1(x)a2(x) y'2 - y2 ) - ( -a1(x)a2(x) y'1 - y1 ) y2 satisfazem a equação diferencial dada. Substituindo da equação na expressão do :
Aplicando isso para e na expressão do :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
W' = -a1(x)a2(x) y1 y'2 - y1 y2 + a1(x)a2(x) y'1 y2 + y1 y2
Os termos W' = -a1(x)a2(x) (y1 y'2 - y'1 y2) = -a1(x)a2(x) W e se cancelam, restando:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial simples para W' = -a1(x)a2(x) W :
W'W = -a1(x)a2(x)
Para resolver isso, a gente separa as variáveis:
ln |W| = -integral a1(x)a2(x) dx + C,
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Elevando ambos os lados para a base W = e^-integral a1(x)a2(x) dx + C = C e^-integral a1(x)a2(x) dx, para eliminar o logaritmo:
onde é uma nova constante.

Resposta

A fórmula de Abel para o Wronskiano W = C e^-integral a1(x)a2(x) dx, é:
onde é uma constante.

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