Encontre os pontos críticos e intervalos de crescimento e de decrescimento da função: f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente usando derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da curva em cada ponto. A derivada é essencial para identificar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser lugares onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
Então, resolvemos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é um número imaginário, isso significa que não existem pontos críticos reais para essa função.

Passo 5

Já que não temos pontos críticos reais, a próxima coisa é verificar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada .
Como a derivada é um polinômio do segundo grau com coeficiente líder positivo e sem raízes reais, isso significa que sempre é positiva para qualquer valor de .

Resposta

Pontos Críticos: Não existem pontos críticos reais para a função.
Intervalos de Crescimento: A função está sempre crescente em todo o domínio .
Intervalos de Decrescimento: Não há intervalos de decrescimento.

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