Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Aqui, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
Para isso, vamos montar a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Os raízes são complexas, então a solução geral será na forma:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, com
:
Então,
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Usando a regra do produto:
Com
:
Aplicando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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