(Equação Exata)
.
Passo 1
Beleza, temos a equação diferencial
. Essa é uma equação exata, que é um tipo específico de equação diferencial que podemos resolver encontrando uma função que a satisfaça. Para resolver, vamos precisar identificar as funções que estão multiplicando
e
, e verificar se a equação é realmente exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é de fato exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso simplifica para:
Integrando
, obtemos:
onde
é uma constante.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
(Equação Separável)
.
Nos exercicios 13-16, determine
(a) aplicando a regra do produto e (b) multiplicando os fatores para produzir uma soma de termos mais simples para derivar.
Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo: