(Equação Exata) (t^2 - x) dt - t dx = 0.

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial . Essa é uma equação exata, que é um tipo específico de equação diferencial que podemos resolver encontrando uma função que a satisfaça. Para resolver, vamos precisar identificar as funções que estão multiplicando e , e verificar se a equação é realmente exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:
Vamos verificar isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é de fato exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Nosso próximo passo é encontrar essa função . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso simplifica para:
Integrando , obtemos:
onde é uma constante.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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(Equação Separável) cos^2(y) dx + cos^2(x) dy = 0.
Nos exercicios 13-16, determine y' (a) aplicando a regra do produto e (b) multiplicando os fatores para produzir uma soma de termos mais simples para derivar. y = (x + 1/x)(x - 1/x + 1)
y' + x^2 y = x^2
Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
x' = (-1 -4; 1 -1) x