Sejam os vetores e w com abscissas 3 , ordenada 4 e cota . Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 20 u.v. (unidades de volume).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o valor de no vetor de forma que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 20 unidades de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial e o produto escalar, que são ferramentas fundamentais na geometria vetorial para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume do paralelepípedo determinado por três vetores é dado pelo valor absoluto do produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja:
Então, nosso objetivo é calcular primeiro.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Sabemos que:
O produto vetorial é dado por:
Calculando isso, temos:
v times w = (-z - 8) i - (2z - 6) j + (8 + 3) k = (-z - 8, 6 - 2z, 11)
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar u = (1, -1, 0) .
Sabemos que:
u cdot (v times w) = 1 cdot (-z - 8) + (-1) cdot (6 - 2z) + 0 cdot 11
Então:
u cdot (v times w) = -z - 8 - 6 + 2z = z - 14
Simplificando:
|z - 14| = 20
O volume é o valor absoluto disso:
Resposta
Resolvendo a equação z - 14 = 20 Rightarrow z = 34 , temos duas soluções:
z - 14 = -20 Rightarrow z = -6
Portanto, o valor de pode ser 34 ou -6 para que o volume do paralelepípedo seja 20 unidades de volume.