Sejam os vetores u=(1,-1,0), v=(2,-1,2) e w com abscissas 3 , ordenada 4 e cota z. Calcular o valor de z para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 20 u.v. (unidades de volume).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o valor de no vetor de forma que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 20 unidades de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial e o produto escalar, que são ferramentas fundamentais na geometria vetorial para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume do paralelepípedo determinado por três vetores Volume = | u cdot (v times w) | é dado pelo valor absoluto do produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja:
Então, nosso objetivo é calcular primeiro.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v = (2, -1, 2) e w = (3, 4, z) . Sabemos que:
v times w = i & j & k 2 & -1 & 2 3 & 4 & z
O produto vetorial é dado por:
v times w = ( (-1) cdot z - 2 cdot 4 ) i - ( 2 cdot z - 2 cdot 3 ) j + ( 2 cdot 4 - (-1) cdot 3 ) k
Calculando isso, temos:
v times w = (-z - 8) i - (2z - 6) j + (8 + 3) k = (-z - 8, 6 - 2z, 11)
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u = (1, -1, 0) .
Sabemos que:
u cdot (v times w) = 1 cdot (-z - 8) + (-1) cdot (6 - 2z) + 0 cdot 11
Então:
u cdot (v times w) = -z - 8 - 6 + 2z = z - 14
Simplificando:
|z - 14| = 20
O volume é o valor absoluto disso:

Resposta

Resolvendo a equação z - 14 = 20 Rightarrow z = 34 , temos duas soluções:
z - 14 = -20 Rightarrow z = -6
Portanto, o valor de pode ser 34 ou -6 para que o volume do paralelepípedo seja 20 unidades de volume.

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