Sejam os vetores e w com abscissas 3 , ordenada 4 e cota . Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 20 u.v. (unidades de volume).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o valor de no vetor de forma que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 20 unidades de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial e o produto escalar, que são ferramentas fundamentais na geometria vetorial para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume do paralelepípedo determinado por três vetores é dado pelo valor absoluto do produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja:
Então, nosso objetivo é calcular primeiro.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial . Sabemos que:
O produto vetorial é dado por:
Calculando isso, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar .
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
O volume é o valor absoluto disso:

Resposta

Resolvendo a equação , temos duas soluções:
Portanto, o valor de pode ser 34 ou -6 para que o volume do paralelepípedo seja 20 unidades de volume.

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