Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A X=0, em que A=[rrrr1 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 6 & -2 -2 & 1 & 2 & 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0, onde a matriz A é:
A = 1 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 6 & -2 -2 & 1 & 2 & 2
Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e espaço solução. Vamos precisar realizar operações de linhas para simplificar a matriz e achar as variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações correspondente à matriz A igualada a zero:
1x1 + 1x2 + 2x3 - 1x4 = 0 2x1 + 3x2 + 6x3 - 2x4 = 0 -2x1 + 1x2 + 2x3 + 2x4 = 0
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar relações entre as variáveis x1, x2, x3, e x4.

Passo 3

Vamos começar simplificando as equações usando o método de eliminação. Primeiramente, podemos eliminar x1 das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2:
2(x1 + x2 + 2x3 - x4) = 0 implies 2x1 + 2x2 + 4x3 - 2x4 = 0
Subtraindo da equação 2:
(2x1 + 3x2 + 6x3 - 2x4) - (2x1 + 2x2 + 4x3 - 2x4) = x2 + 2x3 = 0
Fazemos o mesmo com a equação 3:
Multiplicamos a equação 1 por (-2):
-2(x1 + x2 + 2x3 - x4) = 0 implies -2x1 - 2x2 - 4x3 + 2x4 = 0
Somando à equação 3:
(-2x1 + x2 + 2x3 + 2x4) + (-2x1 - 2x2 - 4x3 + 2x4) = -4x1 - x2 - 2x3 + 4x4 = 0

Passo 4

Agora, temos um sistema simplificado:
x1 + x2 + 2x3 - x4 = 0 x2 + 2x3 = 0 -4x1 - x2 - 2x3 + 4x4 = 0
Vamos resolver a segunda equação para x2:
x2 = -2x3
Agora substituímos x2 na primeira equação:
x1 + (-2x3) + 2x3 - x4 = x1 - x4 = 0 implies x1 = x4

Passo 5

Com x2 = -2x3 e x1 = x4, vamos substituir esses valores na terceira equação:
-4x1 - x2 - 2x3 + 4x4 = -4x4 - (-2x3) - 2x3 + 4x4 = 0
Simplificando:
-4x4 + 2x3 - 2x3 + 4x4 = 0 implies 0 = 0
Isso significa que não há mais restrições, e as variáveis livres são x3 e x4.

Passo 6

Agora, vamos expressar todas as variáveis em termos das variáveis livres x3 e x4:
x1 = x4 x2 = -2x3 x3 = x3 x4 = x4
Podemos escrever o vetor solução X como:
X = x1 x2 x3 x4 = x3 0 -2 1 0 + x4 1 0 0 1

Resposta

Um conjunto de geradores para o espaço solução é:
0 -2 1 0 , 1 0 0 1

Exercícios relacionados