Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , onde a matriz é:
Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e espaço solução. Vamos precisar realizar operações de linhas para simplificar a matriz e achar as variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações correspondente à matriz igualada a zero:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar relações entre as variáveis , , , e .

Passo 3

Vamos começar simplificando as equações usando o método de eliminação. Primeiramente, podemos eliminar das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2:
Subtraindo da equação 2:
Fazemos o mesmo com a equação 3:
Multiplicamos a equação 1 por (-2):
Somando à equação 3:

Passo 4

Agora, temos um sistema simplificado:
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora substituímos na primeira equação:

Passo 5

Com e , vamos substituir esses valores na terceira equação:
Simplificando:
Isso significa que não há mais restrições, e as variáveis livres são e .

Passo 6

Agora, vamos expressar todas as variáveis em termos das variáveis livres e :
Podemos escrever o vetor solução como:

Resposta

Um conjunto de geradores para o espaço solução é:

Exercícios relacionados

Sejam os vetores e w com abscissas 3 , ordenada 4 e cota . Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 20 u.v. (unidades de volume).
Determinar o vetor , paralelo ao vetor , tal que
Encontre um vetor que seja ortogonal a e , , e que tenha módulo 3.
Encontre os valores de tais que o sistema homogêneo tem solução não trivial e para estes valores de , encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes dadas: .