Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , onde a matriz é:
Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e espaço solução. Vamos precisar realizar operações de linhas para simplificar a matriz e achar as variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações correspondente à matriz igualada a zero:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar relações entre as variáveis , , , e .
Passo 3
Vamos começar simplificando as equações usando o método de eliminação. Primeiramente, podemos eliminar das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2:
Subtraindo da equação 2:
Fazemos o mesmo com a equação 3:
Multiplicamos a equação 1 por (-2):
Somando à equação 3:
Passo 4
Agora, temos um sistema simplificado:
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora substituímos na primeira equação:
Passo 5
Com e , vamos substituir esses valores na terceira equação:
Simplificando:
Isso significa que não há mais restrições, e as variáveis livres são e .
Passo 6
Agora, vamos expressar todas as variáveis em termos das variáveis livres e :