Encontre um vetor que seja ortogonal a u=(1,-1,-4) e v=(3, 2,-2), e que tenha módulo 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores e , e que esse vetor tenha módulo (ou comprimento) igual a 3. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial e ver como ajustar o tamanho desse vetor para ficar com o módulo desejado.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja ortogonal a u times v = i & j & k 1 & -1 & -4 3 & 2 & -2 e , podemos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
A fórmula do produto vetorial é:

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
u times v = i cdot [(-1) cdot (-2) - (-4) cdot 2] - j cdot [1 cdot (-2) - (-4) cdot 3] + k cdot [1 cdot 2 - (-1) cdot 3]
Simplificando cada parte:
u times v = i cdot (2 + 8) - j cdot (-2 + 12) + k cdot (2 + 3)
u times v = 10i - 10j + 5k
u times v = (10, -10, 5)

Passo 4

Agora que temos o vetor |a| = raizax^2 + ay^2 + az^2 , vamos verificar o módulo dele para saber como ajustá-lo para ter comprimento 3.
O módulo de um vetor | (10, -10, 5) | = raiz10^2 + (-10)^2 + 5^2 = raiz100 + 100 + 25 = raiz225 = 15 é dado por:
Calculando:

Passo 5

Queremos um vetor com módulo 3. Para isso, vamos escalar o vetor (10 cdot 15, -10 cdot 15, 5 cdot 15) = (2, -2, 1) multiplicando cada componente por :

Resposta

Um vetor que satisfaz as condições é .

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