Encontre um vetor que seja ortogonal a e , , e que tenha módulo 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores e , e que esse vetor tenha módulo (ou comprimento) igual a 3. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial e ver como ajustar o tamanho desse vetor para ficar com o módulo desejado.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja ortogonal a e , podemos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
A fórmula do produto vetorial é:

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
Simplificando cada parte:

Passo 4

Agora que temos o vetor , vamos verificar o módulo dele para saber como ajustá-lo para ter comprimento 3.
O módulo de um vetor é dado por:
Calculando:

Passo 5

Queremos um vetor com módulo 3. Para isso, vamos escalar o vetor multiplicando cada componente por :

Resposta

Um vetor que satisfaz as condições é .

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