Encontre os valores de lambda tais que o sistema homogêneo (A-lambda In) X=0 tem solução não trivial e para estes valores de lambda, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas: A=[rrrr-1 & 2 & 2 & 0 -1 & 2 & 1 & 0 -1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores de lambda que fazem o sistema homogêneo (A - lambda In) X = 0 ter soluções que não sejam triviais (ou seja, soluções diferentes de zero). Além disso, para cada valor de lambda, precisamos achar uma base para o espaço das soluções. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e autovetores, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos procurando os autovalores da matriz A. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica det(A - lambda I) = 0. Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = -1 - lambda & 2 & 2 & 0 -1 & 2 - lambda & 1 & 0 -1 & 1 & 2 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 1 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det -1 - lambda & 2 & 2 -1 & 2 - lambda & 1 -1 & 1 & 2 - lambda

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz 3 times 3 restante:
det -1 - lambda & 2 & 2 -1 & 2 - lambda & 1 -1 & 1 & 2 - lambda = (-1 - lambda)[(2 - lambda)(2 - lambda) - 1 cdot 1] - 2[-1(2 - lambda) - (-1) cdot 1] + 2[-1 cdot 1 - (-1)(2 - lambda)]
Simplificando cada termo:
  1. Primeiro termo:
(-1 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] = (-1 - lambda)[4 - 4lambda + lambda^2 - 1] = (-1 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2)
  1. Segundo termo:
-2[-(2 - lambda) + 1] = -2[-2 + lambda + 1] = -2(-1 + lambda) = 2 - 2lambda
  1. Terceiro termo:
2[-1 + (2 - lambda)] = 2[1 - lambda] = 2 - 2lambda
Juntando tudo:
(-1 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda + 2 - 2lambda
Simplificando:
(-1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3) + 4 - 4lambda
Multiplicando:
- lambda^3 + 4lambda^2 - 3lambda - lambda^2 + 4lambda - 3 + 4 - 4lambda = -lambda^3 + 3lambda^2 - 3

Passo 6

Voltando ao determinante original:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-lambda^3 + 3lambda^2 - 3) = 0
Para que o determinante seja zero, ou (1 - lambda) = 0 ou -lambda^3 + 3lambda^2 - 3 = 0.
Resolvendo cada caso:
  1. 1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
  2. -lambda^3 + 3lambda^2 - 3 = 0 Rightarrow lambda^3 - 3lambda^2 + 3 = 0
Essa equação cúbica pode ser resolvida por tentativa e erro. Testando lambda = 1:
1 - 3 + 3 = 1 neq 0;
Teste lambda = 3:
27 - 27 + 3 = 3 neq 0;
Portanto, essa equação não tem soluções reais adicionais. Então, o único autovalor real é lambda = 1.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a base para o espaço solução correspondente a lambda = 1. Isso significa resolver (A - I)X = 0.
Primeiro, calculamos A - I:
A - I = -2 & 2 & 2 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

Vamos resolver o sistema (A - I)X = 0. Escrevendo as equações:
  1. -2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
  2. -x1 + x2 + x3 = 0
  3. -x1 + x2 + x3 = 0
  4. 0 = 0
Observamos que as equações 2 e 3 são iguais. Podemos simplificar:
Da equação 2:
-x1 + x2 + x3 = 0 Rightarrow x1 = x2 + x3
Substituindo x1 na equação 1:
-2(x2 + x3) + 2x2 + 2x3 = 0 Rightarrow -2x2 - 2x3 + 2x2 + 2x3 = 0
Tudo se cancela, restando 0 = 0, que é sempre verdadeiro. Portanto, as variáveis x2 e x3 são livres.

Passo 9

Vamos expressar as soluções em termos das variáveis livres x2 = s e x3 = t:
x1 = s + t x2 = s x3 = t x4 = livre Rightarrow x4 = u
Então, o vetor solução pode ser escrito como:
X = s1 1 0 0 + t1 0 1 0 + u0 0 0 1

Resposta

Os valores de lambda são lambda = 1. Uma base para o espaço solução correspondente é formada pelos vetores 1 1 0 0, 1 0 1 0 e 0 0 0 1.

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