Encontre os valores de tais que o sistema homogêneo tem solução não trivial e para estes valores de , encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes dadas: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores de que fazem o sistema homogêneo ter soluções que não sejam triviais (ou seja, soluções diferentes de zero). Além disso, para cada valor de , precisamos achar uma base para o espaço das soluções. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e autovetores, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos procurando os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica . Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz restante:
Simplificando cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Juntando tudo:
Simplificando:
Multiplicando:

Passo 6

Voltando ao determinante original:
Para que o determinante seja zero, ou ou .
Resolvendo cada caso:
Essa equação cúbica pode ser resolvida por tentativa e erro. Testando :
;
Teste :
;
Portanto, essa equação não tem soluções reais adicionais. Então, o único autovalor real é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a base para o espaço solução correspondente a . Isso significa resolver .
Primeiro, calculamos :

Passo 8

Vamos resolver o sistema . Escrevendo as equações:
Observamos que as equações 2 e 3 são iguais. Podemos simplificar:
Da equação 2:
Substituindo na equação 1:
Tudo se cancela, restando , que é sempre verdadeiro. Portanto, as variáveis e são livres.

Passo 9

Vamos expressar as soluções em termos das variáveis livres e :
Então, o vetor solução pode ser escrito como:

Resposta

Os valores de são . Uma base para o espaço solução correspondente é formada pelos vetores , e .

Exercícios relacionados

Encontre um vetor que seja ortogonal a e , , e que tenha módulo 3.
Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que .
Os pontos dados são vértices de um polígono. Esboce cada polígono no plano cartesiano e determine seu perímetro.
Os pontos dados são vértices de um polígono. Esboce cada polígono no plano cartesiano e determine seu perímetro.