Encontre os valores de tais que o sistema homogêneo tem solução não trivial e para estes valores de , encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes dadas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores de que fazem o sistema homogêneo ter soluções que não sejam triviais (ou seja, soluções diferentes de zero). Além disso, para cada valor de , precisamos achar uma base para o espaço das soluções. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e autovetores, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos procurando os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica . Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
Passo 5
Vamos calcular o determinante da matriz restante:
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Juntando tudo:
Simplificando:
Multiplicando:
Passo 6
Voltando ao determinante original:
Para que o determinante seja zero, ou ou .
Resolvendo cada caso:
Essa equação cúbica pode ser resolvida por tentativa e erro. Testando :
;
Teste :
;
Portanto, essa equação não tem soluções reais adicionais. Então, o único autovalor real é .
Passo 7
Agora, vamos encontrar a base para o espaço solução correspondente a . Isso significa resolver .
Primeiro, calculamos :
Passo 8
Vamos resolver o sistema . Escrevendo as equações:
Observamos que as equações 2 e 3 são iguais. Podemos simplificar:
Da equação 2:
Substituindo na equação 1:
Tudo se cancela, restando , que é sempre verdadeiro. Portanto, as variáveis e são livres.
Passo 9
Vamos expressar as soluções em termos das variáveis livres e :
Então, o vetor solução pode ser escrito como:
Resposta
Os valores de são . Uma base para o espaço solução correspondente é formada pelos vetores , e .