Encontre o conjunto-solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.

Passo 1

Vamos resolver a desigualdade . Aqui, estamos lidando com uma desigualdade envolvendo valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com expressões dentro do valor absoluto e também considerar o domínio da função, ou seja, os valores de que tornam o denominador diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a expressão dentro do valor absoluto está definida. O denominador não pode ser zero, então:
Isso significa que não pertence ao nosso conjunto solução.

Passo 3

Agora, vamos remover o valor absoluto. A desigualdade é equivalente a:
Essa dupla desigualdade nos dá duas condições que precisamos resolver separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte da dupla desigualdade:
Multiplicamos ambos os lados por . Mas atenção! O sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de . Portanto, vamos considerar dois casos:
Caso 1: (ou seja, )
Como já é mais restritivo que , neste caso, nossa solução é .
Caso 2: (ou seja, )
Aqui, como e também , a solução é .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte da dupla desigualdade:
Novamente, multiplicamos ambos os lados por considerando os mesmos dois casos:
Caso 1: (ou seja, )
Como já inclui , aqui nossa solução é .
Caso 2: (ou seja, )
Já que é mais restritivo que , nossa solução aqui é .

Passo 6

Agora, vamos juntar todas as soluções obtidas:
  • Da primeira parte: ou
  • Da segunda parte: ou
A interseção dessas soluções (ou seja, os valores que satisfazem ambas) será:
Lembrando que já está incluído nessa solução.

Resposta

O conjunto-solução da desigualdade é ou . Na reta numérica real, representamos esses intervalos com setas indo até menos infinito para e de 2 indo até mais infinito, excluindo o ponto .

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.
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