Encontre o conjunto-solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.
Passo 1
Vamos resolver a desigualdade . Aqui, estamos lidando com uma desigualdade envolvendo valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com expressões dentro do valor absoluto e também considerar o domínio da função, ou seja, os valores de que tornam o denominador diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a expressão dentro do valor absoluto está definida. O denominador não pode ser zero, então:
Isso significa que não pertence ao nosso conjunto solução.
Passo 3
Agora, vamos remover o valor absoluto. A desigualdade é equivalente a:
Essa dupla desigualdade nos dá duas condições que precisamos resolver separadamente.
Passo 4
Vamos resolver a primeira parte da dupla desigualdade:
Multiplicamos ambos os lados por . Mas atenção! O sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de . Portanto, vamos considerar dois casos:
Caso 1: (ou seja, )
Como já é mais restritivo que , neste caso, nossa solução é .
Caso 2: (ou seja, )
Aqui, como e também , a solução é .
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte da dupla desigualdade:
Novamente, multiplicamos ambos os lados por considerando os mesmos dois casos:
Caso 1: (ou seja, )
Como já inclui , aqui nossa solução é .
Caso 2: (ou seja, )
Já que é mais restritivo que , nossa solução aqui é .
Passo 6
Agora, vamos juntar todas as soluções obtidas:
Da primeira parte: ou
Da segunda parte: ou
A interseção dessas soluções (ou seja, os valores que satisfazem ambas) será:
Lembrando que já está incluído nessa solução.
Resposta
O conjunto-solução da desigualdade é ou . Na reta numérica real, representamos esses intervalos com setas indo até menos infinito para e de 2 indo até mais infinito, excluindo o ponto .