Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto . Justifique.
.

Passo 1

Então, a questão pede para a gente verificar se a função é diferenciável no ponto . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Precisaremos calcular as derivadas parciais em e verificar a continuidade delas nesse ponto para concluir se a função é diferenciável ali.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Na prática, isso significa que as derivadas parciais de em relação a e existem e são contínuas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais em . Observando as expressões das derivadas:
Ambas as funções são combinações de funções exponenciais, seno e cosseno, que são contínuas em todo o domínio. Portanto, as derivadas parciais e são contínuas em .

Resposta

Sim, a função é diferenciável no ponto .

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(b)
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(b) .
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