Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Passo 1
Então, a questão pede para a gente verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Precisaremos calcular as derivadas parciais em
e verificar a continuidade delas nesse ponto para concluir se a função é diferenciável ali.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Na prática, isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
existem e são contínuas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais em
. Observando as expressões das derivadas:
Ambas as funções são combinações de funções exponenciais, seno e cosseno, que são contínuas em todo o domínio. Portanto, as derivadas parciais
e
são contínuas em
.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável no ponto
.