Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto . Justifique. .
Passo 1
Então, a questão pede para a gente verificar se a função é diferenciável no ponto . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Precisaremos calcular as derivadas parciais em e verificar a continuidade delas nesse ponto para concluir se a função é diferenciável ali.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Na prática, isso significa que as derivadas parciais de em relação a e existem e são contínuas em .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais em . Observando as expressões das derivadas:
Ambas as funções são combinações de funções exponenciais, seno e cosseno, que são contínuas em todo o domínio. Portanto, as derivadas parciais e são contínuas em .