Encontre o domínio e a imagem da função , definida por
Passo 1
Vamos encontrar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender quais valores de são permitidos (domínio) e quais valores pode assumir (imagem). Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não fazem o denominador igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos resolver a equação .
Passo 3
Resolvendo , percebemos que quando , o denominador da função fica zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os valores que pode assumir. Para isso, vamos resolver a equação para em termos de .
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Rearranjando os termos:
Fatorando :
Isolando :
Passo 6
Para que seja um número real, o denominador não pode ser zero. Portanto, , ou seja, . Assim, a imagem da função é todos os números reais exceto .