Encontre o domínio e a imagem da função
, definida por
Passo 1
Vamos encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender quais valores de
são permitidos (domínio) e quais valores
pode assumir (imagem). Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que não fazem o denominador igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos resolver a equação
.
Passo 3
Resolvendo
, percebemos que quando
, o denominador da função fica zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os valores que
pode assumir. Para isso, vamos resolver a equação
para
em termos de
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Rearranjando os termos:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 6
Para que
seja um número real, o denominador
não pode ser zero. Portanto,
, ou seja,
. Assim, a imagem da função é todos os números reais exceto
.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.