Encontre o domínio e a imagem da função , definida por

Passo 1

Vamos encontrar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender quais valores de são permitidos (domínio) e quais valores pode assumir (imagem). Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não fazem o denominador igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos resolver a equação .

Passo 3

Resolvendo , percebemos que quando , o denominador da função fica zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os valores que pode assumir. Para isso, vamos resolver a equação para em termos de .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Rearranjando os termos:
Fatorando :
Isolando :

Passo 6

Para que seja um número real, o denominador não pode ser zero. Portanto, , ou seja, . Assim, a imagem da função é todos os números reais exceto .

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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