Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
. Os tópicos que vamos abordar são:
a) Encontrar o domínio da função;
b) Encontrar a imagem da função;
c) Descrever as curvas de nível da função;
d) Encontrar a fronteira do domínio da função;
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas;
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
b) Encontrar a imagem da função;
c) Descrever as curvas de nível da função;
d) Encontrar a fronteira do domínio da função;
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas;
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender sobre domínio e imagem de funções, curvas de nível, conceitos de região aberta/fechada e restrições de limites em conjuntos no plano.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio da função
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso da raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos que:
Isso implica que:
Portanto, o domínio
é o conjunto de todos os pares
onde
é maior ou igual a
.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Como estamos trabalhando com a raiz quadrada, o resultado dela será sempre um número real não negativo, já que:
Portanto, a imagem
da função é:
Passo 4
Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante.
Seja
um valor constante não negativo. Então, a curva de nível é definida por:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso significa que cada curva de nível é uma reta com a equação:
Portanto, as curvas de nível são famílias de retas paralelas com inclinação 1, deslocadas verticalmente de acordo com
.
Passo 5
Vamos encontrar a fronteira do domínio da função. A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança ao redor contém pontos que estão no conjunto e pontos que não estão.
No nosso caso, o domínio é
. A fronteira desse conjunto é a reta onde
, porque:
- Para pontos na reta
, qualquer pequeno movimento para cima mantém , mas qualquer pequeno movimento para baixo faz . - Para pontos acima da reta, há vizinhança que ainda satisfaz
, mas na fronteira exata , há transição.
Portanto, a fronteira
do domínio
é:
Passo 6
Vamos determinar se o domínio
é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
- Região aberta: Não inclui sua fronteira.
- Região fechada: Inclui sua fronteira.
Como nosso domínio é
, ele inclui a reta
, que é a sua fronteira. Portanto, o domínio é uma região fechada.
Passo 7
Por último, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Se ele se estende ao infinito em pelo menos uma direção, é não limitado.
Nosso domínio
se estende indefinidamente para cima e para a direita no plano
. Não há limites superiores para
nem para
.
Portanto, o domínio é não limitado.
Resposta
a) O domínio é
.
b) A imagem da função é
.
c) As curvas de nível são retas da forma
, onde
.
d) A fronteira do domínio é a reta
.
e) O domínio é uma região fechada.
f) O domínio é não limitado.