Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . Os tópicos que vamos abordar são:
a) Encontrar o domínio da função;
b) Encontrar a imagem da função;
c) Descrever as curvas de nível da função;
d) Encontrar a fronteira do domínio da função;
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas;
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender sobre domínio e imagem de funções, curvas de nível, conceitos de região aberta/fechada e restrições de limites em conjuntos no plano.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio da função .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No caso da raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos que:
Isso implica que:
Portanto, o domínio é o conjunto de todos os pares onde é maior ou igual a .
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Como estamos trabalhando com a raiz quadrada, o resultado dela será sempre um número real não negativo, já que:
Portanto, a imagem da função é:
Passo 4
Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante.
Seja um valor constante não negativo. Então, a curva de nível é definida por:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso significa que cada curva de nível é uma reta com a equação:
Portanto, as curvas de nível são famílias de retas paralelas com inclinação 1, deslocadas verticalmente de acordo com .
Passo 5
Vamos encontrar a fronteira do domínio da função. A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança ao redor contém pontos que estão no conjunto e pontos que não estão.
No nosso caso, o domínio é . A fronteira desse conjunto é a reta onde , porque:
Para pontos na reta , qualquer pequeno movimento para cima mantém , mas qualquer pequeno movimento para baixo faz .
Para pontos acima da reta, há vizinhança que ainda satisfaz , mas na fronteira exata , há transição.
Portanto, a fronteira do domínio é:
Passo 6
Vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
Região aberta: Não inclui sua fronteira.
Região fechada: Inclui sua fronteira.
Como nosso domínio é , ele inclui a reta , que é a sua fronteira. Portanto, o domínio é uma região fechada.
Passo 7
Por último, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Se ele se estende ao infinito em pelo menos uma direção, é não limitado.
Nosso domínio se estende indefinidamente para cima e para a direita no plano . Não há limites superiores para nem para .