Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
k)
.
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. A matéria envolvida aqui é Álgebra, mais especificamente sobre desigualdades envolvendo frações. Para resolver, vamos precisar manipular frações, encontrar o domínio da expressão e resolver uma desigualdade quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da desigualdade, ou seja, os valores de
que tornam as expressões válidas. Precisamos evitar que os denominadores sejam zero:
- Para
, então . - Para
, então .
Então, o domínio é
exceto
e
.
Passo 3
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade para ter zero do outro lado:
Para facilitar, vamos achar um denominador comum. Note que
.
Passo 4
Reescrevemos a expressão com o denominador comum
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar o numerador:
Então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos fatorar o numerador
. Sabemos que:
Então, a desigualdade fica:
Observamos que
é sempre positivo porque o discriminante
.
Passo 7
Como
para todo
, a desigualdade depende dos sinais de
e
. Vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos
,
, e
:
-
: , → expressão negativa. -
: , → expressão positiva. -
: , → expressão negativa. -
: , → expressão positiva.
Passo 8
Queremos onde a expressão é maior ou igual a zero. Considerando os intervalos e excluindo os pontos onde o denominador é zero:
Resposta
A solução da desigualdade é
ou
. Em notação de intervalo: