Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
k) x²/(x-2) - 1 ≥ (x² + 3)/(x² - 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . A matéria envolvida aqui é Álgebra, mais especificamente sobre desigualdades envolvendo frações. Para resolver, vamos precisar manipular frações, encontrar o domínio da expressão e resolver uma desigualdade quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da desigualdade, ou seja, os valores de que tornam as expressões válidas. Precisamos evitar que os denominadores sejam zero:
  • Para , então .
  • Para , então .
Então, o domínio é exceto e .

Passo 3

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade para ter zero do outro lado:
Para facilitar, vamos achar um denominador comum. Note que .

Passo 4

Reescrevemos a expressão com o denominador comum :
Simplificando:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar o numerador:
Então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos fatorar o numerador . Sabemos que:
Então, a desigualdade fica:
Observamos que é sempre positivo porque o discriminante .

Passo 7

Como para todo , a desigualdade depende dos sinais de e . Vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos , , e :
  1. : , → expressão negativa.
  2. : , → expressão positiva.
  3. : , → expressão negativa.
  4. : , → expressão positiva.

Passo 8

Queremos onde a expressão é maior ou igual a zero. Considerando os intervalos e excluindo os pontos onde o denominador é zero:

Resposta

A solução da desigualdade é ou . Em notação de intervalo:

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