Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, : (d)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a soma dos termos da sequência e queremos provar que essa soma é igual a para todo número natural . Para isso, vamos usar o princípio de indução matemática, que nos ajuda a provar que uma afirmação vale para todos os números naturais.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
A soma do primeiro termo é apenas :
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, devemos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 5

Agora, simplificamos o lado esquerdo da equação:
Para somar os termos, colocamos tudo com denominador comum:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação:
Observamos que ambos os lados são iguais:
Isso confirma que a afirmação é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a identidade é válida para todo .

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Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: © , para quaisquer e reais.
Calcule os limites no infinito.
(f)
Enuncie a recíproca de cada teorema a seguir usando o mesmo estilo com que cada um foi apresentado: (b) Um número é divisível por 8 se o número formado por seus últimos três algarismos for divisível por 8.
Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas: (b) Uma condição necessária para que um número seja múltiplo de 8 é que esse número seja par.