Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
: (d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a soma dos termos da sequência
e queremos provar que essa soma é igual a
para todo número natural
. Para isso, vamos usar o princípio de indução matemática, que nos ajuda a provar que uma afirmação vale para todos os números naturais.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
A soma do primeiro termo é apenas
:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, devemos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 5
Agora, simplificamos o lado esquerdo da equação:
Para somar os termos, colocamos tudo com denominador comum:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação:
Observamos que ambos os lados são iguais:
Isso confirma que a afirmação é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a identidade
é válida para todo
.
Exercícios relacionados
Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: ©
, para quaisquer
e
reais.
Calcule os limites no infinito.
(f)
(f)
Enuncie a recíproca de cada teorema a seguir usando o mesmo estilo com que cada um foi apresentado: (b) Um número é divisível por 8 se o número formado por seus últimos três algarismos for divisível por 8.
Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas: (b) Uma condição necessária para que um número seja múltiplo de 8 é que esse número seja par.