Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: (b) Sejam e números reais. Tem-se .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão apresenta uma proposição: "Se , então e ". Nosso objetivo é encontrar um contraexemplo, ou seja, encontrar valores para e que tornem a primeira parte verdadeira ( ) mas a segunda parte falsa ( e ). Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre implicações lógicas e como encontrar exceções a afirmações gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a proposição: " e ". Isso significa que, segundo a proposição, sempre que a soma de e for maior que zero, então ambos e devem ser maiores que zero.

Passo 3

Agora, queremos encontrar um contraexemplo. Ou seja, precisamos achar valores de e onde mas pelo menos um dos números, ou , não é maior que zero. Isso vai mostrar que a proposição original nem sempre é verdadeira.

Passo 4

Vamos escolher, por exemplo, e . Vamos verificar as duas partes da proposição:
  1. Soma: → A primeira parte é verdadeira.
  2. Individualmente:
    • → Verdadeiro.
    • → Falso.

Passo 5

Como a soma é maior que zero, mas não é maior que zero, temos um caso onde a proposição “ ” não se sustenta. Portanto, encontramos nosso contraexemplo.

Resposta

Um contraexemplo é escolher e . Aqui, , mas não é maior que zero. Isso mostra que a proposição original não é verdadeira para todos os casos.

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Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas: © Uma condição suficiente para que uma reta seja perpendicular a um plano é que ela seja perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo (g)
Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
b)
Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, : ©