Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: (b) Sejam
e
números reais. Tem-se
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão apresenta uma proposição: "Se
, então
e
". Nosso objetivo é encontrar um contraexemplo, ou seja, encontrar valores para
e
que tornem a primeira parte verdadeira (
) mas a segunda parte falsa (
e
). Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre implicações lógicas e como encontrar exceções a afirmações gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a proposição: "
e
". Isso significa que, segundo a proposição, sempre que a soma de
e
for maior que zero, então ambos
e
devem ser maiores que zero.
Passo 3
Agora, queremos encontrar um contraexemplo. Ou seja, precisamos achar valores de
e
onde
mas pelo menos um dos números,
ou
, não é maior que zero. Isso vai mostrar que a proposição original nem sempre é verdadeira.
Passo 4
Vamos escolher, por exemplo,
e
. Vamos verificar as duas partes da proposição:
- Soma:
→ A primeira parte é verdadeira. - Individualmente:
-
→ Verdadeiro. -
→ Falso.
-
Passo 5
Como a soma
é maior que zero, mas
não é maior que zero, temos um caso onde a proposição “
” não se sustenta. Portanto, encontramos nosso contraexemplo.
Resposta
Um contraexemplo é escolher
e
. Aqui,
, mas
não é maior que zero. Isso mostra que a proposição original não é verdadeira para todos os casos.
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b)
b)
Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
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