Sejam
um espaço vetorial sobre o corpo
um operador linear sobre
e
um autovalor de
. Mostre que o subconjunto definido por:
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos um espaço vetorial
sobre um corpo
, um operador linear
que atua em
, e um autovalor
de
. Queremos mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é um subespaço. Vamos seguir passo a passo para não deixar nada de fora!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar em , então também está em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero de
está em
. Sabemos que para qualquer operador linear
,
. Então,
Isso mostra que
. Pronto, a primeira condição está satisfeita!
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Agora, vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
e verificar se a soma
também está em
.
Sabemos que
é linear, então:
Isso mostra que
. Portanto, o conjunto é fechado sob adição!
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Por último, vamos verificar se, para qualquer vetor
e qualquer escalar
, o vetor
também está em
.
Usando a linearidade de
:
Portanto,
, mostrando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial foram satisfeitas, concluímos que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Encontre as coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cartesianas são
.
Sejam as bases
e
. Se
,
e
, determine
de modo que
não seja base.
Seja
a transformação linear definida por
.
a) Calcule os autovalores de e os auto espaços de
.
b) Determine uma base de constituída de autovetores de
. Qual a representação matricial de
nesta base?
a) Calcule os autovalores de
b) Determine uma base de
Encontre as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas esféricas são
.