Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K, T um operador linear sobre V e lambda um autovalor de T. Mostre que o subconjunto definido por:
Vlambda=v in V mid T(v)=lambda v
é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos um espaço vetorial Vlambda = v in V mid T(v) = lambda v sobre um corpo , um operador linear que atua em , e um autovalor de . Queremos mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é um subespaço. Vamos seguir passo a passo para não deixar nada de fora!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de está em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar em , então também está em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero de T(0) = lambda cdot 0 = 0 está em . Sabemos que para qualquer operador linear , . Então,
Isso mostra que . Pronto, a primeira condição está satisfeita!

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Agora, vamos pegar dois vetores quaisquer T(u + v) = T(u) + T(v) = lambda u + lambda v = lambda (u + v) e em e verificar se a soma também está em .
Sabemos que é linear, então:
Isso mostra que . Portanto, o conjunto é fechado sob adição!

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Por último, vamos verificar se, para qualquer vetor T(c cdot v) = c cdot T(v) = c cdot (lambda v) = lambda (c cdot v) e qualquer escalar , o vetor também está em .
Usando a linearidade de :
Portanto, , mostrando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial foram satisfeitas, concluímos que é realmente um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados