Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos com coordenadas polares: -1, 2 pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto que está dado em coordenadas polares, que são . Então, vamos usar conhecimentos sobre sistemas de coordenadas polares e cartesianas, e como converter de um para o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas coordenadas. Em coordenadas polares, um ponto é definido por dois valores: r, que é a distância do ponto até a origem, e theta, que é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Já nas coordenadas cartesianas, o ponto é definido por (x, y). A gente vai precisar da fórmula de conversão:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as fórmulas com os valores que temos. Mas olha só, o valor de r é negativo ( -1). Quando o raio é negativo, isso significa que a gente está indo na direção oposta ao ângulo theta. Então, para facilitar, podemos pensar no raio positivo e somar pi ao ângulo. Mas vamos seguir com o r negativo mesmo.

Passo 4

Vamos calcular x e y:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas. Sabemos que:

Passo 6

Substituindo esses valores nas equações:

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são .

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