Encontre as coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cartesianas são (1,-raiz3, 2 raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as coordenadas esféricas de um ponto que está dado em coordenadas cartesianas, especificamente . Para isso, vamos usar a matéria de conversão entre sistemas de coordenadas, mais precisamente de Cartesiano para Esférico. Precisamos lembrar das fórmulas que relacionam essas coordenadas para fazer a conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de r = raizx^2 + y^2 + z^2 , que representa a distância do ponto até a origem. A fórmula para r = raiz1^2 + (-raiz3)^2 + (2raiz3)^2 = raiz1 + 3 + 12 = raiz16 = 4 é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo theta = arccos(zr) , que é o ângulo de inclinação em relação ao eixo theta = arccos(2raiz34) = arccos(raiz32) . A fórmula para é:
Substituindo os valores:
Sabemos que radianos.

Passo 4

Por fim, vamos determinar o ângulo phi = arctan(yx) , que é o ângulo no plano phi = arctan(-raiz31) = arctan(-raiz3) a partir do eixo phi = 2pi - pi3 = 5pi3 . A fórmula para é:
Substituindo os valores:
Sabemos que radianos. Porém, como geralmente expressamos no intervalo , adicionamos :

Resposta

As coordenadas esféricas do ponto (r, theta, phi) = (4, pi6, 5pi3) são:

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