Encontre as coordenadas polares dos pontos com coordenadas cartesianas: (2, -2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas polares de um ponto que já está dado nas coordenadas cartesianas: . Para isso, vamos precisar entender a relação entre essas duas formas de representar pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, lembremos que as coordenadas cartesianas são dadas por (x, y), onde x é a distância na horizontal e y na vertical. Já as coordenadas polares usam dois valores: a distância até a origem (chamada de r) e o ângulo ( theta) formado com o eixo positivo dos x.

Passo 3

Para converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, θ), usamos as seguintes fórmulas:
Essas fórmulas nos dão a distância até a origem e o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 4

Vamos aplicar a primeira fórmula para encontrar r. Substituindo x = 2 e :
Então, a distância até a origem é unidades.

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo theta. Usando a segunda fórmula:
Sabemos que corresponde a um ângulo de , mas geralmente expressamos o ângulo em coordenadas polares entre e . Então, adicionamos :

Resposta

As coordenadas polares do ponto são .

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Verifique se a função u * u = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2) é uma solução da equação de Laplace tridimensional u_xx + u_yy + u_zz = 0.
Sejam as funções abaixo:
f(x) = cos(x), para x in [0, pi].
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.