Verifique se a função
é uma solução da equação de Laplace tridimensional
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é uma solução da equação de Laplace tridimensional, que é
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somá-las para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma mais simples para facilitar a derivação:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Fazemos o mesmo para as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 6
Agora, somamos as três segundas derivadas:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Resposta
Portanto,
, o que mostra que a função
é realmente uma solução da equação de Laplace tridimensional.
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, para
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