Verifique se a função u * u = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2) é uma solução da equação de Laplace tridimensional u_xx + u_yy + u_zz = 0.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é uma solução da equação de Laplace tridimensional, que é . Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a , e , e depois somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais simples para facilitar a derivação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Fazemos o mesmo para as derivadas parciais em relação a e :

Passo 6

Agora, somamos as três segundas derivadas:
Fatorando :
Simplificando dentro dos parênteses:

Resposta

Portanto, , o que mostra que a função é realmente uma solução da equação de Laplace tridimensional.

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