Sejam as funções abaixo:
f(x) = cos(x), para x in [0, pi].
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo e precisamos encontrar sua representação em série de Fourier, primeiro usando apenas senos e depois usando apenas cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

I) Série de Fourier em senos
Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier de usando apenas termos de seno. A série de Fourier em senos é adequada para funções que são ímpares ou que são definidas em um intervalo específico, como no nosso caso.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos é:
onde no nosso caso, e os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular para nossa função:
Usando a identidade trigonométrica , a integral fica:
Integrando, temos:
Simplificando usando :
Após simplificar, observamos que apenas os termos ímpares contribuem, então a série de senos fica:

Passo 3

II) Série de Fourier em cossenos
Agora, vamos encontrar a série de Fourier de usando apenas termos de cosseno. A série de cossenos é adequada para funções pares ou definidas em .
A fórmula geral para a série de Fourier em cossenos é:
onde , e os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular para nossa função:
Usando a identidade trigonométrica , a integral fica:
Integrando, temos:
Como , todos os termos anulam:
Porém, para , temos:
Além disso, o termo constante é calculado por:
Então, a série de cossenos fica simplesmente:

Resposta

I) A série de Fourier em senos de é:
II) A série de Fourier em cossenos de é:

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