Sejam as funções abaixo:
, para
.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo
e precisamos encontrar sua representação em série de Fourier, primeiro usando apenas senos e depois usando apenas cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
I) Série de Fourier em senos
Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier de
usando apenas termos de seno. A série de Fourier em senos é adequada para funções que são ímpares ou que são definidas em um intervalo específico, como
no nosso caso.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos é:
onde
no nosso caso, e os coeficientes
são calculados por:
Vamos calcular
para nossa função:
Usando a identidade trigonométrica
, a integral fica:
Integrando, temos:
Simplificando usando
:
Após simplificar, observamos que apenas os termos ímpares contribuem, então a série de senos fica:
Passo 3
II) Série de Fourier em cossenos
Agora, vamos encontrar a série de Fourier de
usando apenas termos de cosseno. A série de cossenos é adequada para funções pares ou definidas em
.
A fórmula geral para a série de Fourier em cossenos é:
onde
, e os coeficientes
são calculados por:
Vamos calcular
para nossa função:
Usando a identidade trigonométrica
, a integral fica:
Integrando, temos:
Como
, todos os termos anulam:
Porém, para
, temos:
Além disso, o termo constante
é calculado por:
Então, a série de cossenos fica simplesmente:
Resposta
I) A série de Fourier em senos de
é:
II) A série de Fourier em cossenos de
é:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é uma solução da equação de Laplace tridimensional
.
Encontre as coordenadas polares dos pontos com coordenadas cartesianas:
.
Sejam as funções abaixo:
, para
.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Sejam as funções abaixo:
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.