Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de metros por hora a uma distância de metros do pulverizador.
(a) Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pulverizador que distribui água num círculo com raio de 50 metros. A profundidade da água que ele distribui por hora diminui exponencialmente com a distância do pulverizador, seguindo a função , onde é a distância em metros. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração em coordenadas polares, para achar a quantidade total de água e a quantidade média por metro quadrado dentro de um círculo de raio .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos encontrar a quantidade total de água fornecida por hora dentro de um círculo de raio . Como a distribuição é radial e simétrica, é mais fácil usar coordenadas polares para integrar.
Passo 3
A quantidade infinitesimal de água em uma faixa de raio e largura é dada pela profundidade da água multiplicada pela área dessa faixa. A área de uma faixa circular é .
Passo 4
Então, a quantidade total de água é a integral dessa expressão de até :
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Podemos usar integração por partes onde:
então
então
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Passo 7
Calculando os limites:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Queremos a quantidade média de água por hora por metro quadrado dentro do círculo de raio . Isso é simplesmente a quantidade total de água dividida pela área do círculo .
Passo 9
Então, a quantidade média é:
Resposta
(a) A quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio é:
(b) A quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio é: