Usando as propriedades do produto escalar, calcule |2 A B-3 B C|^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede pra gente calcular o quadrado da magnitude do vetor resultante de 2 AB - 3 BC. Isso envolve conceitos de produto escalar e magnitude de vetores. Vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e como aplicar as propriedades dele pra resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 2 AB - 3 BC. Aqui, AB é o vetor que vai do ponto A até o ponto B, e BC vai de B até C. Multiplicar um vetor por um escalar, como 2 ou 3, simplesmente aumenta ou diminui sua magnitude (tamanho) sem mudar a direção.

Passo 3

Agora, a gente quer encontrar a magnitude do vetor resultante 2 AB - 3 BC. A magnitude de um vetor V é representada por |V| e calcula o comprimento desse vetor.

Passo 4

Para achar o quadrado da magnitude, usamos a fórmula do produto escalar:
|V|^2 = V cdot V
Então, precisamos calcular:
|2 AB - 3 BC|^2 = (2 AB - 3 BC) cdot (2 AB - 3 BC)

Passo 5

Vamos expandir esse produto escalar usando a distributiva:
(2 AB) cdot (2 AB) + (2 AB) cdot (-3 BC) + (-3 BC) cdot (2 AB) + (-3 BC) cdot (-3 BC)

Passo 6

Simplificando os termos:
4 (AB cdot AB) - 6 (AB cdot BC) - 6 (BC cdot AB) + 9 (BC cdot BC)
Lembrando que o produto escalar é comutativo, ou seja, AB cdot BC = BC cdot AB.

Passo 7

Agora, juntando os termos iguais:
4 |AB|^2 - 12 (AB cdot BC) + 9 |BC|^2

Passo 8

Esse é o resultado final simplificado usando as propriedades do produto escalar. Se tivéssemos as magnitudes e o ângulo entre os vetores, poderíamos calcular numéricamente, mas com as informações dadas, essa é a forma simplificada.

Resposta

|2 AB - 3 BC|^2 = 4 |AB|^2 - 12 (AB cdot BC) + 9 |BC|^2

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