Usando as propriedades do produto escalar, calcule .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede pra gente calcular o quadrado da magnitude do vetor resultante de . Isso envolve conceitos de produto escalar e magnitude de vetores. Vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e como aplicar as propriedades dele pra resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o vetor que vai do ponto A até o ponto B, e vai de B até C. Multiplicar um vetor por um escalar, como 2 ou 3, simplesmente aumenta ou diminui sua magnitude (tamanho) sem mudar a direção.
Passo 3
Agora, a gente quer encontrar a magnitude do vetor resultante . A magnitude de um vetor é representada por e calcula o comprimento desse vetor.
Passo 4
Para achar o quadrado da magnitude, usamos a fórmula do produto escalar:
Então, precisamos calcular:
Passo 5
Vamos expandir esse produto escalar usando a distributiva:
Passo 6
Simplificando os termos:
Lembrando que o produto escalar é comutativo, ou seja, .
Passo 7
Agora, juntando os termos iguais:
Passo 8
Esse é o resultado final simplificado usando as propriedades do produto escalar. Se tivéssemos as magnitudes e o ângulo entre os vetores, poderíamos calcular numéricamente, mas com as informações dadas, essa é a forma simplificada.