Para as funções
e
.
Encontre os valores máximo e mínimo locais de
e
.
Encontre os valores máximo e mínimo locais de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais das funções
e
. Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde essas funções têm seus pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, precisamos encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero, pois esses pontos podem ser onde a função atinge seus extremos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, as soluções são:
Passo 6
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada:
Avaliaremos
nos pontos críticos:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos analisar a função
. Novamente, precisamos encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero.
Passo 8
Calculamos a derivada de
usando a regra do produto:
Passo 9
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Fatorando
:
Como
(já que
está definido apenas para
), temos:
Passo 10
Para determinar se esse ponto é máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada de
:
Avaliando em
:
Resposta
Para a função
:
- Máximo local em
- Mínimo local em
Para a função
:
- Mínimo local em
aproximadamente
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e
.
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.
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