Para as funções e .
Encontre os valores máximo e mínimo locais de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais das funções e . Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde essas funções têm seus pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, precisamos encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero, pois esses pontos podem ser onde a função atinge seus extremos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, as soluções são:

Passo 6

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada:
Avaliaremos nos pontos críticos:
Para :
í
Para :
á

Passo 7

Agora, vamos analisar a função . Novamente, precisamos encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero.

Passo 8

Calculamos a derivada de usando a regra do produto:

Passo 9

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Fatorando :
Como (já que está definido apenas para ), temos:

Passo 10

Para determinar se esse ponto é máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada de :
Avaliando em :
í

Resposta

Para a função :
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
Para a função :
  • Mínimo local em aproximadamente

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