Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(y-z, z, y-z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para determinar bases do Núcleo de (ou ) e da Imagem de (ou ). A aplicação linear é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar suas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Nuc T = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja:
Vamos encontrar os vetores que satisfazem .

Passo 3

Aplicando T(x, y, z) = (y - z, z, y - z) = (0, 0, 0) a y - z = 0 z = 0 y - z = 0 , temos:
Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. A segunda equação nos dá diretamente y - 0 = 0 Rightarrow y = 0 . Substituindo y = 0 e z = 0 na primeira equação:
A terceira equação é a mesma da primeira, então não traz nova informação. Logo, temos:

Passo 5

Agora, sabemos que (x, 0, 0) com x in R e . O que dizer sobre ? Não há restrição para , então ele pode ser qualquer número real. Portanto, os vetores no núcleo são da forma:

Passo 6

Para encontrar uma base para v = (1, 0, 0) , precisamos encontrar vetores que gerem todo o núcleo e que sejam linearmente independentes. Observando os vetores , (1, 0, 0) , , podemos escolher :
Então, a base do núcleo é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a Imagem de Im T = , T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 , , . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja:
Precisamos descrever esse conjunto e encontrar uma base para ele.

Passo 8

Observando a aplicação T(x, y, z) = y(1, 0, 1) + z(-1, 1, -1) , vemos que os componentes do vetor imagem são expressos em termos de e . Vamos reescrever :
Isso mostra que a imagem de é gerada pelos vetores e .

Passo 9

Para garantir que det 1 & -1 0 & 1 1 & -1 e formem uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Calculamos o determinante da matriz formada por esses vetores:
Como a matriz não é quadrada, verificamos se um vetor é múltiplo do outro. Claramente, e não são múltiplos entre si, então são linearmente independentes.

Passo 10

Portanto, uma base para , (1, 0, 1), (-1, 1, -1) , é formada por e :

Resposta

A base do núcleo de é e uma base da imagem de é .

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