Seja uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para determinar bases do Núcleo de (ou ) e da Imagem de (ou ). A aplicação linear é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar suas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja:
Vamos encontrar os vetores que satisfazem .
Passo 3
Aplicando a , temos:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. A segunda equação nos dá diretamente y - 0 = 0 Rightarrow y = 0 . Substituindo y = 0 e z = 0 na primeira equação:
A terceira equação é a mesma da primeira, então não traz nova informação. Logo, temos:
Passo 5
Agora, sabemos que (x, 0, 0) com x in R e . O que dizer sobre ? Não há restrição para , então ele pode ser qualquer número real. Portanto, os vetores no núcleo são da forma:
Passo 6
Para encontrar uma base para v = (1, 0, 0) , precisamos encontrar vetores que gerem todo o núcleo e que sejam linearmente independentes. Observando os vetores , (1, 0, 0) , , podemos escolher :
Então, a base do núcleo é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a Imagem de Im T = , T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 , , . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja:
Precisamos descrever esse conjunto e encontrar uma base para ele.
Passo 8
Observando a aplicação T(x, y, z) = y(1, 0, 1) + z(-1, 1, -1) , vemos que os componentes do vetor imagem são expressos em termos de e . Vamos reescrever :
Isso mostra que a imagem de é gerada pelos vetores e .
Passo 9
Para garantir que det 1 & -1 0 & 1 1 & -1 e formem uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Calculamos o determinante da matriz formada por esses vetores:
Como a matriz não é quadrada, verificamos se um vetor é múltiplo do outro. Claramente, e não são múltiplos entre si, então são linearmente independentes.
Passo 10
Portanto, uma base para , (1, 0, 1), (-1, 1, -1) , é formada por e :