Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(z, z, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar bases para o Núcleo de (NucT) e para a Imagem de (ImT). A transformação linear dada é . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, núcleos e imagens de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o Núcleo de T(x, y, z) = (z, z, z) = (0, 0, 0) , que é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero por . Ou seja, precisamos resolver a equação:

Passo 3

Para que , claramente deve ser igual a 0. Mas o que acontece com e ? Como a transformação não depende de e , eles podem ser quaisquer valores reais. Então, o Núcleo é formado por todos os vetores onde .

Passo 4

Isso significa que qualquer vetor no Núcleo tem a forma (x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) . Podemos escrever isso como uma combinação linear:
Portanto, uma base para o Núcleo de é composta pelos vetores e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . A transformação mapeia qualquer vetor para um vetor onde todas as componentes são iguais a .

Passo 6

Isso significa que a Imagem de é o conjunto de todos os vetores da forma . Podem ser escritos como , onde é um número real. Logo, a Imagem de é a reta que passa pela origem e pelo ponto .

Resposta

Uma base para o Núcleo de é e uma base para a Imagem de é .

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