Seja
uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar bases para o Núcleo de
(NucT) e para a Imagem de
(ImT). A transformação linear dada é
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, núcleos e imagens de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o Núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero por
. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Para que
, claramente
deve ser igual a 0. Mas o que acontece com
e
? Como a transformação
não depende de
e
, eles podem ser quaisquer valores reais. Então, o Núcleo é formado por todos os vetores onde
.
Passo 4
Isso significa que qualquer vetor no Núcleo tem a forma
. Podemos escrever isso como uma combinação linear:
Portanto, uma base para o Núcleo de
é composta pelos vetores
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a Imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. A transformação
mapeia qualquer vetor para um vetor onde todas as componentes são iguais a
.
Passo 6
Isso significa que a Imagem de
é o conjunto de todos os vetores da forma
. Podem ser escritos como
, onde
é um número real. Logo, a Imagem de
é a reta que passa pela origem e pelo ponto
.
Resposta
Uma base para o Núcleo de
é
e uma base para a Imagem de
é
.