Encontre as coordenadas do vetor (4,6,7) de R^3 em relação as seguintes bases: beta=(1,1,2),(2,1,2),(2,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as coordenadas do vetor (4,6,7) no espaço tridimensional R^3 em relação a uma base específica beta. Isso significa que precisamos expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores que compõem a base beta = (1,1,2), (2,1,2), (2,1,1). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma base. Em R^3, uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Isso é importante porque garante que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito de forma única como uma combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Agora, vamos dizer que queremos encontrar as coordenadas (a, b, c) do nosso vetor (4,6,7) em relação à base beta. Isso significa que queremos achar os valores de a, b e c tais que:
(4,6,7) = a(1,1,2) + b(2,1,2) + c(2,1,1)

Passo 4

Vamos expandir essa equação para facilitar a resolução:
1a + 2b + 2c = 4 1a + 1b + 1c = 6 2a + 2b + 1c = 7
Isso resulta em um sistema de três equações com três incógnitas. Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, podemos simplificar as equações para facilitar:
  1. a + 2b + 2c = 4
  2. a + b + c = 6
  3. 2a + 2b + c = 7
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar a:
(a + 2b + 2c) - (a + b + c) = 4 - 6
Rightarrow b + c = -2  — Equação (4)
Agora, vamos subtrair a segunda equação da terceira:
(2a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 6
Rightarrow a + b = 1  — Equação (5)
Agora, temos duas novas equações:
  1. b + c = -2
  2. a + b = 1
Podemos resolver a Equação (5) para a:
a = 1 - b
Agora, substituímos a na Equação (2):
(1 - b) + b + c = 6
Rightarrow 1 + c = 6
Rightarrow c = 5
Agora que temos c = 5, substituímos na Equação (4):
b + 5 = -2
Rightarrow b = -7
Finalmente, substituímos b = -7 na expressão para a:
a = 1 - (-7) = 8

Resposta

As coordenadas do vetor (4,6,7) em relação à base beta são (8, -7, 5).

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