Encontre as coordenadas do vetor de em relação as seguintes bases:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as coordenadas do vetor no espaço tridimensional em relação a uma base específica . Isso significa que precisamos expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores que compõem a base . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é uma base. Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Isso é importante porque garante que qualquer vetor em pode ser escrito de forma única como uma combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Agora, vamos dizer que queremos encontrar as coordenadas do nosso vetor em relação à base . Isso significa que queremos achar os valores de , e tais que:
Passo 4
Vamos expandir essa equação para facilitar a resolução:
Isso resulta em um sistema de três equações com três incógnitas. Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, podemos simplificar as equações para facilitar:
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar :
— Equação (4)
Agora, vamos subtrair a segunda equação da terceira: