Encontre as coordenadas do vetor de em relação as seguintes bases:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as coordenadas do vetor no espaço tridimensional em relação a uma base específica . Isso significa que precisamos expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores que compõem a base . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é uma base. Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Isso é importante porque garante que qualquer vetor em pode ser escrito de forma única como uma combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Agora, vamos dizer que queremos encontrar as coordenadas do nosso vetor em relação à base . Isso significa que queremos achar os valores de , e tais que:
Passo 4
Vamos expandir essa equação para facilitar a resolução:
Isso resulta em um sistema de três equações com três incógnitas. Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, podemos simplificar as equações para facilitar:
a + 2b + 2c = 4
a + b + c = 6
2a + 2b + c = 7
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar a:
(a + 2b + 2c) - (a + b + c) = 4 - 6 Rightarrow b + c = -2 — Equação (4)
Agora, vamos subtrair a segunda equação da terceira:
(2a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 6 Rightarrow a + b = 1 — Equação (5)
Agora, temos duas novas equações:
b + c = -2
a + b = 1
Podemos resolver a Equação (5) para a:
a = 1 - b
Agora, substituímos a na Equação (2):
(1 - b) + b + c = 6 Rightarrow 1 + c = 6 Rightarrow c = 5
Agora que temos c = 5, substituímos na Equação (4):
b + 5 = -2 Rightarrow b = -7
Finalmente, substituímos b = -7 na expressão para a:
a = 1 - (-7) = 8
Resposta
As coordenadas do vetor (4,6,7) em relação à base beta são (8, -7, 5).