Encontre as coordenandas de relativo à base canônica do .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas da matriz em relação à base canônica do espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base canônica e como representar uma matriz em termos dessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a base canônica de . A base canônica é um conjunto de matrizes que são “padrão” para esse espaço. No caso de , a base canônica é formada pelas seguintes quatro matrizes:
Essas matrizes têm um 1 em uma posição específica e 0 nas demais, representando “direções” básicas no espaço das matrizes .
Passo 3
Agora, para encontrar as coordenadas da matriz em relação a essa base, precisamos expressar como uma combinação linear das matrizes da base canônica. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo as matrizes da base, temos:
Passo 4
Vamos multiplicar cada escalar pelas respectivas matrizes:
Somando essas matrizes, obtemos:
Passo 5
Agora, igualando os elementos correspondentes, temos:
Esses valores são os coeficientes que precisamos para expressar na base canônica.
Resposta
As coordenadas de 1 2 3 4 em relação à base canônica de são: