Encontre as coordenandas de A=(ll1 & 2 3 & 4) relativo à base canônica do M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas da matriz 1 & 2 3 & 4 em relação à base canônica do espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base canônica e como representar uma matriz em termos dessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a base canônica de E11 = 1 & 0 0 & 0, E12 = 0 & 1 0 & 0, E21 = 0 & 0 1 & 0, E22 = 0 & 0 0 & 1 . A base canônica é um conjunto de matrizes que são “padrão” para esse espaço. No caso de , a base canônica é formada pelas seguintes quatro matrizes:
Essas matrizes têm um 1 em uma posição específica e 0 nas demais, representando “direções” básicas no espaço das matrizes .

Passo 3

Agora, para encontrar as coordenadas da matriz A = c11E11 + c12E12 + c21E21 + c22E22 em relação a essa base, precisamos expressar 1 & 2 3 & 4 = c111 & 0 0 & 0 + c120 & 1 0 & 0 + c210 & 0 1 & 0 + c220 & 0 0 & 1 como uma combinação linear das matrizes da base canônica. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo as matrizes da base, temos:

Passo 4

Vamos multiplicar cada escalar pelas respectivas matrizes:
1 & 2 3 & 4 = c11 & 0 0 & 0 + 0 & c12 0 & 0 + 0 & 0 c21 & 0 + 0 & 0 0 & c22
Somando essas matrizes, obtemos:
1 & 2 3 & 4 = c11 & c12 c21 & c22

Passo 5

Agora, igualando os elementos correspondentes, temos:
c11 = 1 c12 = 2 c21 = 3 c22 = 4
Esses valores são os coeficientes que precisamos para expressar na base canônica.

Resposta

As coordenadas de 1 2 3 4 em relação à base canônica de são:

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