Sendo V=R^3 e dado um conjunto de elementos de V, beta=(1,-2,-3) ;(2,-4,-6) ;(-3,6,9).
Qual a dim W ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que e um conjunto de vetores . A pergunta é: qual é a dimensão de ? Aqui, é o subespaço gerado pelos vetores de dentro de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e dimensão de subespaços.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a dimensão de um subespaço. A dimensão de é o número de vetores que formam uma base para , ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes nesse conjunto.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes ou se algum pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se conseguirmos expressar um vetor como múltiplo de outro, eles são dependentes.

Passo 4

Vamos comparar os vetores:
Observamos que:
Isso mostra que e são múltiplos de .

Passo 5

Como e podem ser expressos como múltiplos de , eles não adicionam nenhuma nova direção ao subespaço gerado. Portanto, todos os vetores em estão na mesma linha (direção) em .

Passo 6

Isso significa que apenas um vetor é necessário para gerar todo o subespaço , já que os outros vetores não trazem novas direções. Portanto, a base de consiste apenas de .

Resposta

A dimensão de é 1.

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O conjunto beta é uma base de V ? E de W ? Justifique.
Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0). Determine:
u cdot v
Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0). Determine:
u+v