Encontre a curva suave fechada simples C para a qual o valor da integral de linha
ointC(y^3-y) d x-2 x^3 d y
é máximo.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma curva suave fechada e simples ointC(y^3-y) dx - 2x^3 dy que maximize o valor da integral de linha
Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, e depois analisar como maximizar esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos permite converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA em uma integral dupla sobre a região P = y^3 - y e Q = -2x^3 delimitada por . A fórmula é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (-2x^3)partial x = -6x^2,
partial Ppartial y = partial (y^3 - y)partial y = 3y^2 - 1
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha fica:
ointC(y^3-y) dx - 2x^3 dy = integral duplaD ( -6x^2 - (3y^2 - 1) ) dA = integral duplaD (-6x^2 - 3y^2 + 1) dA

Passo 4

Agora, queremos maximizar essa integral dupla:
integral duplaD (-6x^2 - 3y^2 + 1) dA
Para isso, precisamos analisar a função dentro da integral: . Essa função atinge seu valor máximo no ponto e diminui conforme nos afastamos desse ponto.

Passo 5

Para maximizar a integral, queremos que a região seja escolhida de forma que a contribuição positiva seja a maior possível, e as contribuições negativas sejam minimizadas. Isso ocorre quando a região está bem próxima ao ponto .

Passo 6

A melhor escolha para a curva que atende essas condições é um círculo centrado na origem . Isso porque a simetria do círculo faz com que os termos e sejam distribuídos igualmente, minimizando o impacto negativo na integral.

Resposta

A curva que maximiza a integral de linha é um círculo centrado na origem.

Exercícios relacionados