Encontre a curva suave fechada simples
para a qual o valor da integral de linha
é máximo.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma curva suave fechada e simples
que maximize o valor da integral de linha
Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, e depois analisar como maximizar esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos permite converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha fica:
Passo 4
Agora, queremos maximizar essa integral dupla:
Para isso, precisamos analisar a função dentro da integral:
. Essa função atinge seu valor máximo no ponto
e diminui conforme nos afastamos desse ponto.
Passo 5
Para maximizar a integral, queremos que a região
seja escolhida de forma que a contribuição positiva
seja a maior possível, e as contribuições negativas
sejam minimizadas. Isso ocorre quando a região
está bem próxima ao ponto
.
Passo 6
A melhor escolha para a curva
que atende essas condições é um círculo centrado na origem
. Isso porque a simetria do círculo faz com que os termos
e
sejam distribuídos igualmente, minimizando o impacto negativo na integral.
Resposta
A curva que maximiza a integral de linha é um círculo centrado na origem.
Exercícios relacionados
Seja
uma curva espacial suave fechada simples que esteja contida em um plano com vetor unitário normal
e orientada positivamente em relação a
. Mostre que a área
do plano delimitado por
é dada por
Sugestão: Use o Teorema de Stokes no espaço.
Sendo
uma função de classe
tal que
em
, considere o conjunto
. Demonstre que se
são funções de classe
, então vale a identidade
em que
é a fronteira de
orientada no sentido anti-horário.
Sugestão: Escreva como reunião de três curvas, sendo
e
, coт
.
Sugestão: Escreva
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades e aplique o teorema de Green duas vezes.
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) , para todo vetor constante
.
(a)