Encontre a curva suave fechada simples
para a qual o valor da integral de linha
é máximo.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma curva suave fechada e simples
que maximize o valor da integral de linha
Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, e depois analisar como maximizar esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos permite converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha fica:
Passo 4
Agora, queremos maximizar essa integral dupla:
Para isso, precisamos analisar a função dentro da integral:
. Essa função atinge seu valor máximo no ponto
e diminui conforme nos afastamos desse ponto.
Passo 5
Para maximizar a integral, queremos que a região
seja escolhida de forma que a contribuição positiva
seja a maior possível, e as contribuições negativas
sejam minimizadas. Isso ocorre quando a região
está bem próxima ao ponto
.
Passo 6
A melhor escolha para a curva
que atende essas condições é um círculo centrado na origem
. Isso porque a simetria do círculo faz com que os termos
e
sejam distribuídos igualmente, minimizando o impacto negativo na integral.
Resposta
A curva que maximiza a integral de linha é um círculo centrado na origem.