Sendo
uma função de classe
tal que
em
, considere o conjunto
. Demonstre que se
são funções de classe
, então vale a identidade
em que
é a fronteira de
orientada no sentido anti-horário.
Sugestão: Escreva
como reunião de três curvas, sendo
e
, coт
.
Sugestão: Escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função
que é diferenciável e crescente no intervalo
. A gente precisa provar uma identidade que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região
com uma integral dupla sobre essa região. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas envolvendo derivadas parciais. Então, vamos precisar entender como parametrizar a fronteira
da região
e aplicar o teorema para chegar na igualdade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é definida pelos pontos
onde
e
. Isso significa que
está entre
e
, e entre
e a curva
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a fronteira
de
como a união de três curvas:
-
: Vai de até , seguindo a linha horizontal . -
: Vai de até , seguindo a linha vertical . -
: Vai de até , seguindo a curva de para .
Essa parametrização facilita a aplicação do Teorema de Green, pois cada parte da fronteira pode ser tratada de forma separada.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz:
Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor da fronteira
com a integral dupla sobre a região
. Para isso funcionar,
e
precisam ser funções diferenciáveis, o que é garantido no enunciado.
Passo 5
Vamos calcular a integral de linha
dividindo-a nas três partes:
Cada uma dessas integrais será avaliada usando as parametrizações das curvas
,
e
. Após somar todas, pelo Teorema de Green, teremos a integral dupla sobre
:
Resposta
A identidade é verdadeira e dada por
Exercícios relacionados
Seja
o sólido exterior à esfera
e interior à esfera
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional ao quadrado da distância do centro das esferas ao ponto
. Encontre a massa de
.
Um sólido
é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.
Seja
uma curva espacial suave fechada simples que esteja contida em um plano com vetor unitário normal
e orientada positivamente em relação a
. Mostre que a área
do plano delimitado por
é dada por
Sugestão: Use o Teorema de Stokes no espaço.
Encontre a curva suave fechada simples
para a qual o valor da integral de linha
é máximo.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.