Sendo uma função de classe tal que em , considere o conjunto . Demonstre que se são funções de classe , então vale a identidade
em que é a fronteira de orientada no sentido anti-horário.
Sugestão: Escreva como reunião de três curvas, sendo e , coт .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que é diferenciável e crescente no intervalo . A gente precisa provar uma identidade que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre essa região. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas envolvendo derivadas parciais. Então, vamos precisar entender como parametrizar a fronteira da região e aplicar o teorema para chegar na igualdade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é definida pelos pontos onde e . Isso significa que está entre e , e entre e a curva .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a fronteira de como a união de três curvas:
  1. : Vai de até , seguindo a linha horizontal .
  2. : Vai de até , seguindo a linha vertical .
  3. : Vai de até , seguindo a curva de para .
Essa parametrização facilita a aplicação do Teorema de Green, pois cada parte da fronteira pode ser tratada de forma separada.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz:
Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor da fronteira com a integral dupla sobre a região . Para isso funcionar, e precisam ser funções diferenciáveis, o que é garantido no enunciado.

Passo 5

Vamos calcular a integral de linha dividindo-a nas três partes:
Cada uma dessas integrais será avaliada usando as parametrizações das curvas , e . Após somar todas, pelo Teorema de Green, teremos a integral dupla sobre :

Resposta

A identidade é verdadeira e dada por

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Seja uma curva espacial suave fechada simples que esteja contida em um plano com vetor unitário normal e orientada positivamente em relação a . Mostre que a área do plano delimitado por é dada por
Sugestão: Use o Teorema de Stokes no espaço.
Encontre a curva suave fechada simples para a qual o valor da integral de linha
é máximo.
Sugestão: Inicialmente, use o Teorema de Green. Em seguida, use propriedades da integral dupla.