Sendo f:[a, b] R uma função de classe C^1 tal que f^prime(x)>0 em (a, b), considere o conjunto Omega=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, f(a) <= y <= f(x). Demonstre que se P, Q: R^2 R são funções de classe C^1, então vale a identidade
ointgamma P d x+Q d y=integral duplaOmega(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d x d y
em que gamma é a fronteira de Omega orientada no sentido anti-horário.
Sugestão: Escreva gamma=gamma1 cup gamma2 cup gamma3 como reunião de três curvas, sendo gamma1(t1)= (t1, f(a)), gamma2(t2)=(b, t2) e gamma3(t3)=(-t3, f(-t3)), coт a <= t1 <= b, f(a) <= t2 <= f(b) e-b <= t3 <=-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que é diferenciável e crescente no intervalo . A gente precisa provar uma identidade que relaciona uma integral de linha ao redor de uma região com uma integral dupla sobre essa região. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas envolvendo derivadas parciais. Então, vamos precisar entender como parametrizar a fronteira da região e aplicar o teorema para chegar na igualdade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é definida pelos pontos onde e . Isso significa que está entre e , e entre e a curva .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a fronteira de como a união de três curvas:
  1. : Vai de até , seguindo a linha horizontal .
  2. : Vai de até , seguindo a linha vertical .
  3. : Vai de até , seguindo a curva de para .
Essa parametrização facilita a aplicação do Teorema de Green, pois cada parte da fronteira pode ser tratada de forma separada.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaOmega ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor da fronteira com a integral dupla sobre a região . Para isso funcionar, e precisam ser funções diferenciáveis, o que é garantido no enunciado.

Passo 5

Vamos calcular a integral de linha ointgamma P , dx + Q , dy = integralgamma1 P , dx + Q , dy + integralgamma2 P , dx + Q , dy + integralgamma3 P , dx + Q , dy dividindo-a nas três partes:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaOmega ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Cada uma dessas integrais será avaliada usando as parametrizações das curvas , e . Após somar todas, pelo Teorema de Green, teremos a integral dupla sobre :

Resposta

A identidade é verdadeira e dada por
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaOmega ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy

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